Квантовая статистика — раздел статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики.
Квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц . При этом оказывается, как будет показано ниже, что коллективы частиц с целым и полуцелым спинами подчиняются разным статистикам.
Пусть система состоит из N частиц. Введем в рассмотрение многомерное пространство всех координат и импульсов частиц системы. Тогда состояние системы определяется заданием 6N переменных . Это 6N-мерное пространство называется фазовым пространством. Каждому микросостоянию системы отвечает точка в бN-мерном фазовом пространстве, так как задание точки фазового пространства означает задание координат и импульсов всех частиц системы. Разобьем фазовое пространство на малые бN-мерные элементарные ячейки объемом dqdp=dq1 dq2...dq3N dp1 dp2...dp3N, где q — совокупность координат всех частиц, р — совокупность проекций их импульсов.
Вероятность dW данного состояния системы можно представить с помощью функции распределения f (q, p):
dW=f(q,p)dqdр. (234.1)
Здесь dW—вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема dqdp, расположенного вблизи данной точки q, p. Иными словами, dW представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы заключены в интервале q, q+dq и р, p+dp.
Функция распределения есть не что иное, как плотность вероятности определенного состояния системы.
Явное выражение функции распределения в самом общем виде получил американский физик Д. Гиббс (1839—1903). Оно называетсяканоническим распределением Гиббса. В квантовой статистике каноническое распределение Гиббса имеет вид
l(En) =Ae(-En/(kT)) (234.3)
где А — постоянная, определяемая из условия нормировки к единице, n — совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние.
2)Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения Ni — чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Для систем частиц, образованных бозонами — частицами с нулевым или целым
спином , числа заполнения могут принимать любые целые значения: О, 1, 2, ... . Для систем частиц, образованных фермионами — частицами с полуцелым спином , числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее число частиц в данном квантовом состоянии, т. е. определить средние числа заполнения <Ni>.
Идеальный газ из бозонов — бозе-газ — описывается квантовой статистикой Бозе — Эйнштейна. Распределение бозонов по энергиям вытекает из так называемого большого канонического распределения Гиббса при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии может быть любым :
Это распределение называется распределением Бозе — Эйнштейна. Здесь <Ni> — среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией Ei,k — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая температура, — химический потенциал; не зависит от энергии, а определяется только температурой и плотностью числа частиц. Химический потенциал находится обычно из условия, что сумма всех <Ni> равна полному числу частиц в системе.
Идеальный газ из фермионов — ферми-газ — описывается квантовой статистикой Ферми — Дирака. Распределение фермионов по энергиям имеет вид
где <Ni>—среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei, — химический потенциал). Это распределение называется распределением Ферми — Дирака.
(Ei-)/(kT)
Если е(Ei-)/(kT)>>1, то распределения Бозе — Эйнштейна (235.1) и Ферми — Дирака (235.2) переходят в классическое распределение Максвелла — Больцмана:
(ср. с выражением (44.4)), где
Таким образом, при высоких температурах оба «квантовых» газа ведут себя подобно классическому газу.
