Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией , , вращается вокруг оси Ox, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле , где a и b — абсциссы начала и конца дуги.
Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией , , вращается вокруг оси Oy, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
,
где с и d — абсциссы начала и конца дуги.
Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями , , причем , то
Если дуга задана в полярных координатах , то
.
Пример. Вычислим площадь поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линии y= , расположенной над отрезком оси .
Так как , то формула даёт нам интеграл
Сделаем в последнем интеграле замену t=x+(1/2) и получим:
В первом из интегралов правой части сделаем замену z=t2- :
Для вычисления второго из интегралов в правой части обозначим его и проинтегрируем по частям, получив уравнение для :
Перенося в левую часть и деля на 2, получаем
откуда, наконец,