Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями
x = x(t), y = y(t), a £ t £ b , (x(a), y(a)) = A , (x(b), y(b)) = B
Функции x(t) и y(t) будем предполагать только непрерывными на [a,b]. Будем также считать, что АВ - кривая без самопересечений, то есть АВ не имеет кратных точек (разным значения параметра t соответствуют разные точки кривой АВ ). Для произвольного разбиения s : a = t0 < t1 < …< tn =b длина l(s) ломаной А М1 М2…Мn -1 В , вписанной в дугу АВ , будет равна
Если
то будем говорить, что кривая АВ спрямляема, и lAB - длина кривой АВ.
Теорема (критерий спрямляемости кривой).
Для того, чтобы кривая АВ была спрямляема, необходимо и достаточно, чтобы обе функции x(t) и y(t) имели на отрезке [a,b] ограниченную вариацию.
Доказательство основано на том, что «каждый из катетов прямоугольного треугольника не больше гипотенузы, а гипотенуза не больше суммы катетов».