Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси фигуры, ограниченной непрерывной кривой , осью и прямыми (рис. 7). Разобьем отрезок на частей точками Проведем через точки деления плоскости, перпендикулярные оси . Сечение тела вращения плоскостью есть круг радиусом с площадью . Проведенные плоскости разобьют тело на слои. Каждый -й слой
приближенно заменим прямым цилиндром (рис. 7) с радиусом , высотой и объемом
Сумма объемов всех цилиндров равна .
Объем тела вращения определяется как предел этой суммы
при стремлении к нулю величины . Мы получили предел интегральной суммы непрерывной функции по отрезку , который существует и равен интегралу
Итак, объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , осью и прямыми , вычисляется по формуле
или .
Аналогично вычисляется объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной линией , осью , прямыми (рис. 8):
или .
Пример 1. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,
а) вокруг оси , б) вокруг оси .
Решение. Построим параболу прямые и заштрихуем фигуру, ограниченную этими линями (рис. 31).
а). Объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг оси , вычислим по формуле:
Подынтегральная функция − четная, поэтому используем следствие 2 к теореме.
б). Для вычисления объема тела вращения фигуры вокруг оси нельзя непосредственно воспользоваться формулой, так как фигура сверху ограничена не прямой, а параболой. Поэтому сначала рассмотрим фигуру, ограниченную прямой , осью , прямыми . При ее вращении вокруг оси получим цилиндр, объем которого можно вычислить по формуле или по формуле
Теперь рассмотрим фигуру, ограниченную линиями осью и прямой . При ее вращении вокруг оси получим тело, объем которого вычислим по формуле:
Тогда искомый объем будет равен
7. Лекционное занятие. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
Случай 1. Пусть на плоскости дуга задана уравнением Будем предполагать, что функция непрерывна вместе со своей производной на .
Рассмотрим на кривой точки с абсциссами Проведем хорды длины которых обозначим (рис. 1).
Вычислим длину -й хорды
Для вычисления приращения воспользуемся формулой конечных приращений Лагранжа
,
где − некоторая точка из промежутка Тогда длина й хорды
.
Учтем это и возьмем в определении криволинейного интеграла в качестве промежуточных точек на дугах точки :
.
Мы получили предел интегральной суммы функции по отрезку , который равен интегралу Следовательно,
Итак, для вычисления криволинейного интеграла по дуге АВ с уравнением нужно:
1) заменить в подынтегральной функции на его значение на дуге;
2) заменить на ;
3) вычислить получившийся определенный интеграл по отрезку .
Иногда удобнее использовать уравнение кривой в виде . Тогда
Пример 1. Вычислить длину дуги кривой .
Решение. Уравнение кривой разрешено относительно , поэтому воспользуемся формулой (7.16), учитывая, что ,
Тогда
Случай 2. Пусть на плоскости дуга задана параметрическими уравнениями
,
причем функции непрерывны на вместе со своими производными и .
Для определенности, пусть . Уравнения определяют функцию , которая имеет непрерывную производную . Учитывая, что , получим .
Итак, справедливы следующие формулы и
Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями , имеем