До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования и . Если оставить постоянным нижний предел интегрирования, а верхний изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида
называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела . Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой , а верхний предел интегрирования — буквой .
С геометрической точки зрения, функция в случае r0 представляет собой площадь заштрихованной на рисунке криволинейной трапеции.
Найдем производную от по , т. е. производную определенного интеграла по верхнему пределу.
Теорема.Производная определенного интеграла от непрерывной функции no его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:
.
Доказательство. Возьмем любую точку и придадим ей приращение так, чтобы . Тогда
.
Используя аддитивность определенного интеграла, имеем
.
Применяя теорему о среднем, получаем
,
где .
По определению производной, учитывая, что функция непрерывна, получим:
.
⊠
Из теоремы следует, что определенный интеграл с переменным верхним пределом является первообразной для подынтегральной функции на отрезке .
,
т. е. установлена связь между неопределенным и определенным интегралами.
Так как интеграл существует для любого значения ,то данная теорема является одновременно и теоремой о существовании первообразной у каждой непрерывной функции . Этой первообразной может быть определенный интеграл с переменным верхним пределом.