Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке .
Если:
1) функция и ее производная непрерывны при ;
2) множеством значений функции при является отрезок ;
3) , , то справедлива формула
. (4)
Формула (3) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Заметим, что:
1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).
2. Часто вместо подстановки используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .
3. Не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.