Вычисление определенного интеграла очень часто проводится с использованием первых пяти свойств, так что мы будем при надобности на них ссылаться. Остальные свойства определенного интеграла, в основном, применяются для оценки различных выражений.
Прежде чем перейти к основным свойствам определенного интеграла, условимся, что a не превосходит b.
-
Для функции y = f(x), определенной при x = a, справедливо равенство .
То есть, значение определенного интеграла с совпадающими пределами интегрирования равно нулю. Это свойство является следствием определения интеграла Римана, так как в этом случае каждая интегральная сумма для любого разбиения промежутка [a; a] и любого выбора точек равна нулю, так как , следовательно, пределом интегральных сумм является ноль.
-
Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется .
Другими словами, при перемене верхнего и нижнего пределов интегрирования местами значение определенного интеграла меняется на противоположное. Это свойство определенного интеграла также следует из понятия интеграла Римана, только нумерацию разбиения отрезка следует начинать с точки x = b.
-
для интегрируемых на отрезке [a; b] функцийy = f(x) и y = g(x).
Доказательство.
Запишем интегральную сумму функции для данного разбиения отрезка и данного выбора точек :
где и - интегральные суммы функций y = f(x) и y = g(x) для данного разбиения отрезка соответственно.Переходя к пределу при получим , что по определению интеграла Римана равносильно утверждению доказываемого свойства.
-
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке [a; b] функции y = f(x) и произвольного числа k справедливо равенство .
Доказательство этого свойства определенного интеграла абсолютно схоже с предыдущим:
-
Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X, причем и , тогда .
Это свойство справедливо как для , так и для или .
Доказательство можно провести, опираясь на предыдущие свойства определенного интеграла.
-
Если функция интегрируема на отрезке [a; b], то она интегрируема и на любом внутреннем отрезке .
Доказательство основано на свойстве сумм Дарбу: если к имеющемуся разбиению отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя – не увеличиться.
-
Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b] и для любого значения аргумента , то .
Это свойство доказывается через определение интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек при будет неотрицательной (не положительной).
Следствие.
Для интегрируемых на отрезке [a; b] функций y = f(x) и y = g(x) справедливы неравенства:
Это утверждение означает, что допустимо интегрирование неравенств. Этим следствием мы будем пользоваться при доказательстве следующих свойств.
-
Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], тогда справедливо неравенство .
Доказательство.
Очевидно, что . В предыдущем свойстве мы выяснили, что неравенство можно почленно интегрировать, поэтому, справедливо . Это двойное неравенство можно записать как .
-
Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] и для любого значения аргумента , тогда , где и .
Доказательство проводится аналогично. Так как m и M – наименьшее и наибольшее значение функции y = f(x) на отрезке [a; b], то . Домножение двойного неравенства на неотрицательную функцию y = g(x)приводит нас к следующему двойному неравенству . Интегрируя его на отрезке [a; b], придем к доказываемому утверждению.
Следствие.
Если взять g(x) = 1, то неравенство примет вид .
-
Первая формула среднего значения.
Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b], и , тогда существует такое число , что .
Следствие.
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое число , что .
Первая формула среднего значения в обобщенной форме.
Пусть функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b], и , а g(x) > 0 для любого значения аргумента . Тогда существует такое число , что .
-
Вторая формула среднего значения.
Если на отрезке [a; b] функция y = f(x) интегрируема, а y = g(x) монотонна, то существует такое число , что справедливо равенство .