Теорема (Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную на интервале (a,b), то найдется такая точка с внутри интервала (a,b), что f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).
Пример 8. Решить уравнение
Решение. Заметим, что x=-2 и x=1 являются корнями уравнения. Докажем, что других корней уравнение не имеет. Предположим, что уравнение имеет три корня x1<x2<x3 Рассмотрим функцию Данная функция непрерывна на всей прямой и имеет всюду производную. По теореме Лагранжа имеем
Следовательно, существуют хотя бы две точки c1 и с2 в которых производная функции f(x) равна нулю. Однако функция f'(x)=3*2^(x+2)ln2-7 имеет только один корень. Этим доказано, что данное уравнение (9) имеет только два корня: x=-2, x=1
Ответ: x=-2. x=1.
