пользователей: 21212
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Теоремы Лагранжа и Коши

Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)

  1. непрерывна на отрезке [ab];
  2. дифференцируема в интервале (ab).

Тогда существует точка с О (ab) такая, что

 
  f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) . (1)
 

 

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

image081.png

Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке  image004.png, а на его концах принимает одинаковые значения:

image082.png

Тогда  image083.png  удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка  image053.png, в которой производная функции  image083.png  равна нулю:

image085.png

      Следствие 1. В частном случае, когда  image086.png, из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка  image053.png, в которой производная функции  image003.png равна нулю:  image087.png. Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. 

      Следствие 2. Если  image088.png  во всех точках некоторого промежутка  image004.png, то  image057.png в этом промежутке. 
      Действительно, пусть  image089.png  и  image035.png  – произвольные точки промежутка  image004.png  и  image091.png. Применяя теорему Лагранжа к промежутку  image092.png, получим

image093.png

Однако  image088.png  во всех точках промежутка  image004.png. Тогда

image094.png

Учитывая произвольность точек  image089.png  и  image035.png, получаем требуемое утверждение. 

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа

Представим формулу (1) в виде

 
   
f(b) − f(a)
b − a
   = f '(c) .
(2)
 

Число  

f(b) − f(a)
b − a

   есть угловой коэффициент прямой, проходящей через концы графика функции y = f(x) — точки (af(a) ) и (bf(b) ), а f '(c) — угловой коэффициент касательной к этому графику в точке
(cf(c) ). Из формулы (2) следует, что существует точка с О (ab), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней) (рис. 2).

 

t2.gif

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)

  1. непрерывны на отрезке [ab];
  2. дифференцируемы в интервале (ab);
  3. "x О (abg'(x) ≠ 0 .

Тогда существует точка c О (ab) такая, что

 
   
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
   =  
f '(c)
g '(c)
   .
(3)
 

 

Формула (3) называется формулой Коши.

Доказательство. Заметим, что  image118.png. В противном случае – согласно теореме Ролля – производная  image119.png  обратилась бы в нуль в некоторой точке  image053.png
      Рассмотрим вспомогательную функцию

image120.png

которая удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, в частности, принимает одинаковые значения на концах промежутка  image004.png:

image082.png

Тогда существует точка  image053.png, в которой

image121.png

что и требовалось доказать. 

      Следствие. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при  image122.png. В свою очередь теорема Ролля представляет собой частный случай теоремы Лагранжа. Таким образом, теорема Коши включает в себя в качестве частных случаев теорему Ролля и теорему Лагранжа.


21.06.2016; 15:01
хиты: 5
рейтинг:0
Точные науки
математика
математический анализ
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь