Теорема Ролля утверждает, что любая действительная дифференцируемая функция, принимающая одинаковые значения на концах интервала, должна иметь в этом интервале хотя бы одну стационарную точку, т.е. точку, в которой первая производная равна нулю. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в этой точке горизонтальна (рисунок 1).
В современной математике доказательство теоремы Ролля основывается на двух других теоремах − второй теореме Вейерштрасса и теореме Ферма. Они формулируются таким образом: Вторая теорема Вейерштрасса Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на нем своей точной верхней и нижней грани (т.е. наибольшего и наименьшего значения). Теорема Ферма Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0 и дифференцируема в этой точке. Тогда, если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке x0, то f′(x0)=0.
Рассмотрим теперь теорему Ролля (или теорему о нуле производной) в более строгом изложении. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает одинаковые значения на концах данного отрезка:
f(a)=f(b).
Тогда на интервале (a,b) существует по крайней мере одна точка ξ∈(a,b), в которой производная функции f(x) равна нулю:
f′(ξ)=0.
Доказательство. Если функция f(x) постоянна на отрезке [a,b], то производная равна нулю в любой точке интервала (a,b),т.е. в этом случае утверждение справедливо. Если функция f(x) не является постоянной на отрезке [a,b], то по теореме Вейерштрасса она достигает своего наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке ξ интервала (a,b), т.е. в точке ξсуществует локальный экстремум. Тогда по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю: f′(ξ)=0.
Теорема Ролля имеет наглядный физический смысл. Предположим, что тело движется вдоль прямой и через некоторый промежуток времени возвращается в исходную точку. Тогда в данном промежутке времени существует момент, в котором мгновенная скорость тела была равна нулю. |