пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Теорема Ролля

Теорема Ролля утверждает, что любая действительная дифференцируемая функция, принимающая одинаковые значения на концах интервала, должна иметь в этом интервале хотя бы одну стационарную точку, т.е. точку, в которой первая производная равна нулю. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в этой точке горизонтальна (рисунок 1).
 
Данное свойство было известно еще в 12 веке в древней Индии. Выдающийся индийский астроном и математик Бхаскара II (11141185) упоминает о нем в своих сочинениях. В строгом виде эта теорема была доказана в 1691 году французским математиком Мишелем Роллем (16521719) (рисунок 2). 

В современной математике доказательство теоремы Ролля основывается на двух других теоремах − 
второй теореме Вейерштрасса и теореме Ферма. Они формулируются таким образом: 

Вторая теорема Вейерштрасса 
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на нем своей точной верхней и нижней грани (т.е. наибольшего и наименьшего значения). 

Теорема Ферма 
Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0 и дифференцируема в этой точке. Тогда, если функция f(x) имеет 
локальный экстремум в точке x0, то
f(x0)=0.
Рассмотрим теперь теорему Ролля (или теорему о нуле производной) в более строгом изложении. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает одинаковые значения на концах данного отрезка:
f(a)=f(b).
Тогда на интервале (a,b) существует по крайней мере одна точка ξ(a,b), в которой производная функции f(x) равна нулю:
f(ξ)=0.
Доказательство
Если функция f(x) постоянна на отрезке [a,b], то производная равна нулю в любой точке интервала (a,b),т.е. в этом случае утверждение справедливо. 

Если функция f(x) не является постоянной на отрезке [a,b], то по теореме Вейерштрасса она достигает своего наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке ξ интервала (a,b), т.е. в точке ξсуществует 
локальный экстремум. Тогда по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю:
f(ξ)=0.
Теорема Ролля имеет наглядный физический смысл. Предположим, что тело движется вдоль прямой и через некоторый промежуток времени возвращается в исходную точку. Тогда в данном промежутке времени существует момент, в котором мгновенная скорость тела была равна нулю. 

21.06.2016; 14:56
хиты: 139
рейтинг:0
Точные науки
математика
математический анализ
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь