Производная постоянной.
При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем 
, где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции 
. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 
:
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение 
, которое не является неопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения.
Производная степенной функции.
Формула производной степенной функции имеет вид 
, где показатель степени p – любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, дляp = 1, 2, 3, …
Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
При доказательстве формулы для любого действительного p, отличного от нуля, воспользуемся логарифмической производной (не путайте с производной логарифмической функции). Для понимания процесса, рекомендуем сначала ознакомиться с производной логарифмической функции, а также разобраться с разделами теории производная неявно заданной функции и производная сложной функции.
Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x.
Сначала будем полагать 
. В этом случае 
. Выполним логарифмирование равенства 
по основанию e и применим свойство логарифма:
Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:
Осталось провести доказательство для отрицательных x.
Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при 
, причем является четной (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). То есть, 
. В этом случае и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.
Когда показатель p представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при , причем является нечетной. То есть, 
. В этом случае 
и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы в этом случае можно воспользоватьсяправилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:
Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, для отрицательных x справедливо равенство 
.
Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p.
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную 
, причем 
при . Тогда 
. В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним подстановку в исходный предел:
Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:
Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство 
справедливо в силу второго замечательного предела.
Производные тригонометрических функций.
Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.
По определению производной для функции синуса имеем 
.
Воспользуемся формулой разности синусов:
Осталось обратиться к первому замечательному пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x.
Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.
Следовательно, производная функции cos x есть –sin x.
Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).
Производные гиперболических функций.
Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
