При доказательстве правил дифференцирования будем считать функции f(x) и g(x)дифференцируемыми на некотором промежутке X.
То есть, для любого справедливо , где - приращения соответствующих функций.
В другой записи .
Производная суммы
Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.
Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных .
Производная произведения функций
Докажем правило дифференцирования произведения двух функций .
Запишем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Будем учитывать, что и (приращение функции стремиться к нулю при приращении аргумента, стремящемся к нулю).
Что и требовалось доказать.
Производная частного двух функций (производная дроби).
Докажем правило дифференцирования частного двух функций (дроби) . Стоит оговориться, что g(x) не обращается в ноль ни при каких x из промежутка X.
По определению производной