Разберём задачу на определение скорости движения точки. Пусть материальная точка движется неравномерно и прямолинейно согласно закону , где — время, — путь. Средняя скорость движения за время будет равна
.
Чем меньше , тем точнее будет описывать скорость в момент времени , в связи с чем скоростью в момент времени называют
.
Теперь разберём основное понятие высшей математики — понятие производной.
О: Пусть определена в окрестности т. . Тогда, если
то он именуется производной функции и обозначается как . Действие по нахождению производной функции называется дифференцированием.
Прочие обозначения производной:
О: Функцию, которая имеет производную в каждой точке интервала , именуют дифференцируемой на интервале .
Соотнося формулу скорости движения точки и определение производной, имеем физический смысл производной:
,
то есть скорость прямолинейного неравномерного движения соответствует производной от пути по времени.
Геометрический смысл производной
Пусть на графике непрерывной функции имеется касательная в т. , которая образует угол с осью (рис 9.1). Построим секущую, где приближается к касательной и.
Получаем формулу
Следовательно, производная функции в т. равняется угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой . Запишем уравнение касательной и уравнение нормали (прямой, перпендикулярной к касательной) в т. . Поскольку уравнение пучка прямых, которые проходят через т., имеет вид , то уравнение касательной будет иметь вид , а уравнение нормали вследствие условия перпендикулярности:
.