Определение: Подобием называют такое преобразование плоскости при котором любые две точки 
переходят в такие точки 
, что 
, где 
.
— функция расстояния.
Свойства преобразования подобия:
1. Преобразование подобия сохраняет коллинеарность точек (коллинеация — принадлежность точек прямой) т.е. прямая переходит в прямую 
. 
— подобие.
Доказательство: (методом от противного)
Пусть 
, тогда существует 
, тогда 
или 
получим противоречие.
2. Преобразование подобия можно задать в координатах. Гомотетия 
- прямая, 
- обратная. 
.
Теорема: Всякое подобие является композицией гомотетии и движения.
1) 
2) 
— это имеет место всегда, если 
, а если равно, то подобие 
является движением.
3. 
. Может быть другой случай, когда отрезки расположены иначе.
Запишем подобие в координатах:
Подобие, как и движение, может менять или сохранять ориентацию плоскости: 
- сохраняет, 
- меняет. Действительно, если в композиции участвует движение второго рода ориентация меняется. В противном случае сохраняется. Привести свою иллюстрацию на ?
4. Подобие обладает свойствами, аналогичными движению. Отрезок переходящий в отрезок, луч в луч, полуплоскость в полуплоскость. Простое отношение точек сохраняется.
Теорема: Множество гомотетий плоскости с общим центром образует группу, причем Абелеву.
— множество всех гомотетий плоскости с центром в точке О. 
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) при 
;
5) существует симметричный элемент: 
.
Теорема: Множество подобий плоскости образует группу.
Доказательство:
— множество всех подобий плоскости 
.
Рассмотрим композицию двух подобий:
1) 
.
2) коммутативность композиции 
3) 
Инварианты группы подобий:
1. Будем считать, что понятия форма фигуры не определяется, но является основной характеристикой фигуры, тогда первым инвариантом подобия является форма фигуры.
2. Простое отношение трех точек (основной). Эти основные инварианты позволяют группе подобий поставить в соответствие определенную геометрию. Ев называют Евклидовой.
