Каждое движение плоскости сохраняет расстояние по определению. Любой вид движений имеет свои инварианты можно рассматривать группу свойств движений.
Теорема: Множество движений плоскости с заданной композицией является группой, причем группой аддитивности.
Доказательство:
1. Докажем, что композиция двух движений есть движение:
Пусть и — движение ( ) — преобразование. Рассмотрим образы любых двух точек при каждом движении.
т.е.
Доказать: .
Действительно, т.к. — движение, следовательно . — тоже движение. Следовательно, . Следовательно, . Следовательно, — движение (). — расстояние между точками — (отношение) .
2. Докажем, что ассоциативность композиции раннее доказано, что композиция преобразования ассоциативна. Осталось доказать, что этим свойством в частности, обладает и движение.
Действительно, если рассмотреть образы двух точек и , то очевидно, что расстояние между ними не изменится, если выполнить преобразование или .
3. Покажем, что на множестве существует нейтральный элемент: — нейтральный элемент: тождественное преобразование .
4. Для любого существует такой, что . Действительно для любого существует симметричный элемент. Для ; ; — сама является для себя симметричным элементом, т.к. . Такие преобразования называются инвариантными .
Группа движений плоскости имеет подгруппа.
Теорема 2: Множество параллельных переносов плоскости есть подгруппа движений причем группа Абелева.
Доказательство: — группа.
Способы задания: любым вектором ; направлением и расстоянием; парой соответствующих точек ; в координатах
1. Компоненты двух переносов есть перенос — переносы. Рассмотрим . Композиция двух переносов — это перенос на сумму векторов, а сумма векторов это вектор, следовательно композиция переносов это перенос, Можно рассуждать иначе, в координатах — первый перенос
— параллельный перенос.
2. Ассоциативность:
— переносы.
Рассмотрим
3. Существует
4. Для любого существует :
Теорема 3: Множество поворотов с общим центром есть подгруппа группы движений причем группа Абелева.
Доказательство: Рассмотрим композицию двух поворотов с общим центром. . Докажем, что компоненты двух поворотов с общим есть поворот с тем же центром на сумму углов.