Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).
Фокус параболы принято обозначать буквойF, расстояние от фокуса до директрисы—буквой р. Величину p называют параметром параболы. Изображение параболы дано на рис. 61 (исчерпывающее пояснение этого чертежа читатель получит после чтения нескольких следующих пунктов).
Замечание. В соответствии с изложеннымв п° 100 говорят, чтопарабола имеет эксцентриситет 
=1.
Пусть дана какая-нибудь парабола (вместе с тем мы считаем заданным параметр р).Введем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, оси которой расположим специальным образом по отношению к данной параболе. Именно, ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно к директрисе и будем считать ее направленной от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (рис. 61). Выведем уравнение данной параболы в этой системе координат.
Рис. 61.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим далее через r расстояние от точки М до фокуса (r=FM), через r - расстояние от точки Мдо директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том и только в том случае, когда
. (1)
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве (1) заменить переменные r и а их выражениями через текущие координаты х, у. Заметим, что фокус F имеет координаты 
; приняв это во внимание и применяя формулу (2) п° 18. находим:
(2)
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты 
; отсюда ииз формулы (2) п° 18 получаем:
(3),
(при извлечении корня мы взяли 
со своим знаком, так как 
- число положительное; это следует из того, что точка М(х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где находится фокус, т. е. должно быть х > 
, откуда 
Заменяя в равенстве (1) г и d их выражениями (2) и (3), найдем:
(4)
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы в назначенной системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точки М(х; у) в том и только в том случае, когда точка Млежит на данной параболе.
Желая получить уравнение параболы в более простом виде, возведем обе части равенства (4) в квадрат; получим:
(5),
или
(6)
Уравнение (6) выведено нами как следствие уравнения (4). Легко показать, что уравнение (4) в свою очередь может быть выведено, как следствие уравнения (6). В самом деле, из уравнения (6) очевидным образом («обратным ходом») выводится уравнение (5); далее, из уравнения (5) имеем:
Остается показать, что, если x, у удовлетворяют уравнению (6), то здесь можно выбрать только знак плюс. Но это ясно, так как из уравнения (6) 
следовательно, 
, поэтому есть число положительное. Мы приходим к уравнению (4). Поскольку каждое из уравнений (4) и (6) есть следствие другого, они эквивалентны. Отсюда заключаем, что уравнение(6) является уравнением параболы. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.
Уравнение , определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.
