Дано: эллипс с фокусами и , – большая полуось, – половина расстояния между фокусами.
Возьмем за ось абсцисс прямую , а точку поместим на середине отрезка . Пусть – произвольная точка плоскости. Пусть , .
По определению эллипса точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда
. (7)
Координаты фокусов равны соответственно , , следовательно
, .
Подставим и в (7):
+ = . (8)
(8) – уравнение эллипса в заданной системе координат. Преобразуем его к виду = и возведем в квадрат обе части уравнения:
.
;
;
; возведем в квадрат еще раз:
;
;
.
Обозначим , получим .
После приведения к каноническому виду уравнение эллипса запишется так:
. (9)
Эллипс, определяемый уравнением , симметричен относительно и . - центр эллипса, и - большая и малая полуоси эллипса.
При получаем - уравнение окружности.