Основные свойства методов Монте-Карло и условия, при которых они уступают и превосходят традиционные конечно-разностные подходы, можно продемонстрировать на какой-нибудь простой задаче, например, на задаче о вычислении интеграла
где x, a и b – вектора в n-мерном евклидовом пространстве. Случайную величину c плотностью р(x) сконструируем таким образом, чтобы её математическое ожидание
М( ) =
равнялось нашему интегралу I. Тогда, если в соответствующих пределах выбрать , то по Центральной предельной теореме
(1)
Итак, первое. Вычисление интеграла I можно трактовать как решение математически сформулированной задачи с одной стороны, и прямое моделирование определения объёма, находящегося под функцией f(x) c другой стороны.
Второе. Вычисление одномерного интеграла методом Монте-Карло соответствует вычислению I по методу прямоугольников с шагом и погрешностью О( ). В принципе, при достаточно хорошей функции в одномерном случае, не увеличивая существенно количество вычислений, интеграл можно вычислять с точностью О( ) по трапециям, с точностью О( ) по параболам и, вообще, с любой точностью. В многомерном случае трудности использования схем высокого порядка становятся настолько существенными, что при вычислении n-мерных интегралов при n редко используются схемы высокого порядка.
Проведём соответствие между эффективностью регулярных и статистических методов. Пусть n – размерность задачи, Y – число узлов на оси, - общее число узлов для регулярных методов, q – порядок точности схемы, N – число статистических испытаний, - количество операций обработки одного узла, - погрешность вычислений для регулярных методов, - погрешность вычислений для статистических методов, = = - количество операций при решении задачи регулярными методами, = - количество операций по методу Монте-Карло. В случае одинакового количества операций при вычислении решения тем и другим методом с одинаковой точностью мы получаем соотношение
Это означает, что при где в основном используются схемы первого порядка, методы Монте-Карло становятся предпочтительней.
