1. Введение. Проявление методов статистического моделирования (Монте-Карло) в различных областях прикладной математики, как правило, связано с необходимостью решения качественно новых задач, возникающих из потребностей практики. Так было при создании атомного оружия, на первом этапе освоения космоса, исследовании явлений атмосферной оптики, физической химии, моделировании турбулентности. В качестве одного из более-менее удачных определений методов Монте-Карло можно привести следующее:
Методы Монте-Карло – это численные методы решения математических задач (систем алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений) и прямое статистическое моделирование (физических, химических, биологических, экономических, социальных процессов) при помощи получения и преобразования случайных чисел.
Первая работа по использованию метода Монте-Карло была опубликована Холлом [1] в 1873 году именно при организации стохастического процесса экспериментального определения числа путём бросания иглы на лист линованной бумаги. Яркий пример использования методов Монте-Карло – использование идеи Дж. фон Неймана при моделировании траекторий нейтронов в лаборатории Лос Аламоса в сороковых годах прошлого столетия. Хотя методы Монте-Карло связаны с большим количеством вычислений, отсутствие электронной вычислительной техники ни в том ни в другом случае не смутило исследователей при применении этих методов, поскольку в том и другом случае речь шла о моделировании случайных процессов. И своё романтическое название они получили по имени столицы княжества Монако, знаменитой своими игорными домами, основу которых составляет рулетка – совершенный инструмент для получения случайных чисел. А первая работа, где этот вопрос излагался систематически, опубликована в 1949 году Метрополисом и Уламом [2], где метод Монте-Карло применялся для решения линейных интегральных уравнений, в котором явно угадывалось задача о прохождении нейтронов через вещество. В нашей стране работы по методам Монте-Карло стали активно публиковаться после Международной Женвской конференции по применению атомной энергии в мирных целях. Одной из первых можно привести работу Владимирова и Соболя [3].
Общая схема метода Монте-Карло основана на Центральной предельной теореме теории вероятности, утверждающей, что случайная величина , равная сумме большого количества N произвольных случайных величин с одинаковыми математическими ожиданиями m и дисперсиями , всегда распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией . Предположим, что нам нужно найти решение какого либо уравнения или результат какого либо процесса I. Если сконструировать случайную величину с плотностью вероятности таким образом, чтобы математическое ожидание этой величины равнялось искомому решению , то это даёт простой способ оценки решения и погрешности
Отсюда следуют общие свойства методов:
- абсолютная сходимость к решению, как ;
- тяжёлая зависимость погрешности от числа испытаний, как (для уменьшения погрешности на порядок, необходимо увеличить количество испытаний на два порядка);
- основным методом уменьшения погрешности является максимальное уменьшение дисперсии, другими словами, максимально приблизить плотность вероятности p(x) случайной величины к математической формулировке задачи или физике моделируемого явления;
- погрешность не реагирует на размерность задачи (в конечно-разностных методах при переходе от одномерной задачи к трёхмерной количество вычислений увеличивается на два порядка, в то время как в методах Монте-Карло количество вычислений остаётся того же порядка);
- простая структура вычислительного алгоритма ( N раз повторяющиеся однотипные вычисления реализаций случайной величины);
- кроме того, конструкция случайной величины , вообще говоря, может основываться на физической природе процесса и не требовать обязательной, как в регулярных методах, формулировки уравнения, что для современных проблем становится всё более актуальным.
