Во множестве действительных чисел нельзя решить уравнение . Расширяя действительные числа, введем число - мнимая единица: . Тогда, уравнение будет иметь решение .
П.1. Алгебраическая форма комплексного числа
Определение. Комплексным числом называется число , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается ; называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.
Пример. . , .
Определение. Модулем комплексного числа называется величина .
Определение. Аргументом комплексного числа называется число: . Главное значение аргумента обозначается: arg z= или .
Пример.
Определение. Два комплексных числа , называются равными , если , .
Определение. Комплексное число равно 0, если и .
Определение. Число называется сопряженным комплексному числу ,причем .
Пример. ; .
П.2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Комплексное число однозначно определяется парой действительных чисел поэтому можно установить взаимно однозначное соответствие между всевозможными точками плоскости и всевозможными комплексными числами.
Тогда, комплексное число можно изобразить с помощью точки плоскости, координаты которой - абсцисса, - ордината. Это геометрическая, интерпретация комплексного числа.
Рис. 1.
Тогда ось OX – где откладываются действительные части числа называется действительной осью.
OY – где откладывают мнимые части числа называется мнимой осью.
Такую плоскость будем называть «комплексной плоскостью».
Действительной и мнимой частям комплексного числа можно также поставить в соответствие координаты радиус-вектора .
Рис. 2.
Т.е. комплексное число можно изобразить с помощью вектора .
Тогда, длина вектора - есть модуль комплексного числа ; а угол есть аргумент комплексного числа:
.
Из определения модуля и аргумента следует, что если , то , .
Тогда, любое комплексное число, отличное от нуля, можно представить в тригонометрической форме:
Пример. Представить комплексное число в тригонометрической форме:
1)
2)
П.3. Показательная форма комплексного числа.
и связаны формулой Эйлера: .
Тогда от тригонометрической формы комплексного числа можно перейти к показательной форме:
.
Тогда Складывая и вычитая, легко получить
.
Примеры. Записать комплексное число в показательной форме.
1)
2)
П.4. Алгебраические операции над комплексными числами.
Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что и т.д.
1) Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме
Пусть
.
Замечание.
2) Рассмотрим операции над комплексными числами в тригонометрической форме:
Пусть
.
Формула Муавра: .
.
имеет позиций в области комплексных чисел.
Из формулы для видно, что все различных значений величины имеют один и тот же модуль равный . А так как , то точки соответствующие значениям , являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
3) алгебраические операции в показательной форме:
.
Примеры.
1) - в алгебраической форме.
,
- тригонометрическая форма.
.
.
.
П.4. Линии и области в комплексной плоскости
Чтобы построить линию в комплексной плоскости нужно перейти к записи уравнения этой линии в действительных координатах: z=x+iy, x=Rez,y=Imz, IzI= .
Примеры.
1. Построить линию, заданную уравнением Re(z+2)=3. Перейдем к декартовым координатам, получим Re(x+iy+2)=3Þx+2=3Þx=1. Это уравнение прямой параллельной мнимой оси.
2. Построить линию, заданную уравнением Iz-3iI=2. Перейдем к декартовым координатам, получим Ix+iy-3iI=2Þ Это уравнение окружности с центром в точке (0; 3) и радиуса равного 2.
3. Записать уравнение линии в комплексной форме: . Выразим декартовы координаты через комплексную переменную, получим или Это уравнение прямой с выколотой точкой (0; 0) в комплексной форме.
Чтобы построить область в комплексной плоскости нужно в неравенстве, определяющем эту область заменить комплексную переменную zдействительными переменными x и y.
Примеры.
1. Определить область, заданную неравенствами: 2£ Im(z-i)£3. Перейдем к декартовым координатам, получим 2£ y-1£3Þ3£ y£ 4. Это область, заключенная в полосе между прямыми y=3 и y=4.
2. Определить область, заданную неравенством Iz-iI<Iz+3I. Перейдем к декартовым координатам, получим
Это часть плоскости, расположенная выше прямой y=-3x-4.
3. Определить область, заданную неравенством Iz-3+2iI>2. Это часть плоскости, расположенная вне круга