1. Диференціал від невизначеного інтеграла, рівний підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла рівна підінтегральній функції:
, .Дійсно, .
Завдяки цій властивості правильність інтеграції перевіряється диференціюванням. Наприклад, рівність
правильна, оскільки .
2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції рівний сумі цієї функції і довільної сталої: .
Дійсно, .
3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:, – стала. Дійсно, (Поклали ).
4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченного числа неперервних функцій рівний алгебраїчній сумі інтегралів від складових функцій:
. Нехай і . Тоді
, де .
5. (Інваріантність формули інтеграції). Якщо , то й, де – довільна функція, що має неперервну похідну. Нехай – незалежна змінна, – неперервна функція і – її первісна. Тоді . Покладемо тепер , де – функція, що неперервно диференціюється. Розглянемо складну функцію. Через інваріантність форми першого диференціала функції маємо .
Звідси . Таким чином, формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від того, чи є змінна інтеграції незалежною змінною або будь-якою функцією від неї, що має неперервну похідну. Так, з формули шляхом заміни на одержуємо . Зокрема ,
, .
Приклад 1. Знайти інтеграл . , де .
Приклад 2. Знайти інтеграл . .
