Частинна похідна функції кількох змінних — це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як аргументи. Часткові похідні використовуються у векторному численні та диференційній геометрії.Часткова похідна функції f за змінною x записується так: fx або ∂f/∂x. Символ часткової похідної ∂ — це заокруглена форма літери d, що використовувалась для запису повної похідної. Позначення було запропоноване Лежандром і стало використовуватись після його представлення в працях Якобі.
Нехай f — функція, що залежить більш ніж від однієї змінної. Наприклад,
f(x,y) = x2 + xy + y2.
Тут f можна інтерпретувати як родину функцій від однієї змінної при заіндексованій іншій:
f(x,y) = fx(y) = x2 + xy + y2.
Іншими словами, при виборі нового значення x утворюється нова функція fx, котра є функцією від одного дійсного аргумента. Тобто,fx(y) = x2 + xy + y2.
Припустимо, що значення x вибрано, покладемо його a, тоді f(x,y) визначає функцію fa, залежну тільки від y: a² + ay + y²:
fa(y) = a2 + ay + y2.
В цьому виразі, a - константа, а не змінна, отже fa - функція від одного дійсного аргумента - y. Відповідно до означення похідної функції одного аргумента:
fa'(y) = a + 2y.
Наведену процедуру можна здійснити для довілього вибору a. Узагальнивши всю сім'ю функцій, отримаємо похідну функції f по змінній y.
Різний вибір індекса a приводить до утворення родини функцій як у наведеному прикладі. Цей приклад також показує, що обчислення часткової похідної, в обчислювальному сенсі, простіше, ніж повної похідної.
Формула носить назву формули повної похідної.
або
Повний диференціал функції f (x, у, z,...) декількох незалежних змінних вираз
У випадку, коли він відрізняється від повного приросту
Δf = f (x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f (x, y, z, …)
на величину, безкінечно малу на відміну від
Для того щоб функція в точці була диференційованою, необхідно і достатньо, щоб для неї в цій точці існувала скінчена похідна . При виконанні цієї умови рівність має місце, коли стала дорівнює саме цій похідній. Якщо функція в точці має (скінчену) похідну, то в цій точці функція необхідно неперервна.
Для функції двох змінних умова диференційованості жорстокіша, ніж існування частинних похідних в точці.Теорема (необхідна умова диференційованості). Функція диференційована в точці , неперервна в цій точці і має в ній частинні похідні за обома змінними.
