Розглянемо задачу про продуктивність праці. Нехай функція и = и(t) відображає кількість виробленої продукції u за час t i необхідно знайти продуктивність праці в момент t0.
За період часу від t0 до t0 + t кількість виробленої продукції зміниться від значення u0 = u(t0) до значення u0 + u = u(t0 +t); тоді середня продуктивність праці за цей період часу zсер=. Очевидно, що продуктивність праці в момент t0 можна визначити як граничне значення середньої продуктивності за період часу від t0 до t0 + t при t à 0 , тобто
Таким чином, продуктивність праці є похідна від обсягу виробленої продукції по часу.
Розглянемо ще одне поняття, яке ілюструє економічний зміст похідної.
Витрати виробництва y будемо розглядати як функцію кількості продукції х, що виробляється. Нехай х — приріст продукції, тоді y — приріст витрат виробництва і - середній приріст витрат виробництва продукції на одиницю продукції. Похідна у' = — виражає граничні витрати виробництва і характеризує наближено додаткові затрати на виробництво одиниці додаткової продукції.
Граничні витрати залежать від рівня виробництва (кількість продукції, що випускається) х і визначаються не постійними виробничими затратами, а лише змінними (на сировину, паливо та ін.). Аналогічним чином можуть бути визначені гранична виручка, граничний доход, граничний продукт, гранична корисність, гранична продуктивність та інші граничні величини.
Застосування диференціального числення для дослідження економічних об'єктів та процесів на основі аналізу цих граничних величин дістало назву граничного аналізу. Граничні величини характеризують не стан (як сумарна чи середня величини), а процес зміни економічного об'єкта. Таким чином, похідна виступає як швидкість зміни деякого економічного об'єкта (процесу) за часом або відносно іншого об'єкта дослідження. Але необхідно врахувати, що економіка не завжди дозволяє використовувати граничні величини в силу неподільності багатьох об'єктів економічних розрахунків та перервності (дискретності) економічних показників в часі (наприклад, річних, квартальних, місячних та ін.). Водночас у деяких випадках можна відокремитись від дискретності показників і ефективно використовувати граничні величини.
Для дослідження економічних процесів та вирішення інших прикладних задач використовується поняття еластичності функції.
Означення: Еластичністю функції Еx (y) називається границя відношення відносного приросту функції у до відносного приросту змінної х при х à 0:
Еластичнісіь функції наближено відображає, на скільки відсотків зміниться функція у = f (х) при зміні незалежної змінної х на 1%.
Властивості еластичності функції:
1. Еластичність функції дорівнює добутку незалежної змінної на темп зміни функції Ту = (ln y)’ = , тобто
2. Еластичність добутку (частки) двох функцій дорівнює сумі (різниці) еластичностей цих функцій:
3. Еластичності взаємообернених функцій — взаємообернені величини:
(4.22)
Еластичність функції застосовується при аналізі попиту та пропозиції. Наприклад, еластичність попиту у відносно ціни х (або доходу х) — коефіцієнт, що визначається за формулою (4.21) і наближено відображаючий, на скільки відсотків зміниться попит (обсяг пропозиції) при зміні ціни (або доходу) на 1%.
Економічний зміст частинних похідних
Аналогічно поняттю еластичності функції однієї змінної ми можемо ввести поняття частинних еластичностей функції двох змінних.