- функція два рази диференціюється по ;
- функція диференціюється по , а потім по ;
- функція диференціюється по , а потім по ;
- два рази диференціюється по .
Похідні другого порядку також можна диференціювати по і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.
Приклад. Знайти другі частини похідних від функції .
Р о з в ' я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:
Диференціюємо кожну з них по і . Одержуємо частинні похідні другого порядку:.
В розглянутому прикладі.
Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.
Теорема. Якщо функція та її частинні похідні означені і неперервні в точці і в деякому її околі, то в цій точці,
тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.
Доведення теореми опускаємо.
Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.
Нехай - диференційована в області функція двох незалежних змінних і . В будь-якій точці цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:
Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень і , тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши і , одержимо функцію двох змінних і , означену в області .
Диференціал від цієї функції в будь-якій точці області , якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції в точці . Позначається або .
Отже, за означенням .
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків.
