Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку , треба знайти максимуми і мінімуми і порівняти їх із значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .
Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .
Р о з в ’я з о к. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього обчислимо похідну Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння
дістаємо стаціонарні точки.
Точок, в яких похідна не існує, немає.
Обчислимо значення функції в точках (ці точки належать відрізку ), а також на кінцях відрізка, тобто в точках. Маємо
Отже, найбільше значення становить , найменше -
Щоб знайти найбільше (найменше) значення функції замкненій області , потрібно знайти значення функції у всіх критичних точках і порівняти їх з найбільшими (найменшими) значеннями функції на границях області: найбільше і найменше із цих значень і буде найбільшим і найменшим значенням функції в даній області.
Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції в трикутнику (рис. 6.14), обмеженому прямими.
Р о з в ’ я з о к.
Знайдемо критичні точки функції:
Оскільки в даній області, то
У критичній точці функція приймає значення
Дослідимо поведінку функції на границях області.
На прямих і . На прямій ця функція є функцією однієї змінної , оскільки ;
Знайдемо найбільше і найменше значення функції на відрізку :
Критична точка. В цій точці . На кінцях відрізка. Отже, функція досягає найбільшого значення в точці, а найменшого – в точці. Найбільше значення , найменше значення .
Зауваження. До знаходження відповідно найбільшого чи найменшого значення певної функції зводиться цілий ряд практичних задач.
