Вважатимемо, що х0 – скінчене число: . Довизначемо функції в точці х=х0, поклавши Тоді ці функції будуть неперервні в точці х0. розглянемо відрізок [x0;x], що належить даному околу. Функції і неперервні на [x0;x], диференційовні на (х0, х) і .
Тому за теоремою Коші знайдеться точка , для якої або тому, що . Оскільки за умовою існує , якщо , то з рівності маємо:
Зауваження 1. Теорема справедлива і в тому випадку, коли . Дійсно, поклавши , маємо
Зауваження 2. Якщо похідні задовольняють ті самі умови, що і функції і то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо
Взагалі, теорему 1 можна застосувати доти, поки не прийдемо до відношення похідних , яке має певну границю при . Цю саму границю матиме й відношення функцій:
Теорема 1 дає змогу розкривати невизначеність виду Сформулюємо теорему, яка стосується розкриття невизначеності виду .
Теорема 2. Нехай функції і визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі Тоді якщо існує границя то існує границя і Цю теорему приймемо без доведення.
Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом Бернуллі – Лопіталя. Зауважимо, що правило Лопіталя застосовується лише для розкриття невизначеності виду і , які називають основними. Відомі ще й такі невизначеності, як покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.
а). Якщо то невизначеність виду 0· можна звести до основних так: або
б). Якщо то невизначеність виду зводиться до невизначеності :
в). Якщо , то і невизначеність виду 00 зводиться до невизначеності 0· , розглянутої вище. Аналогічно розкриваються невизначеності і .Таким чином, щоб розкрити невизначеності , їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати правило Лапіталя.
