1. Теорема РолляТеорема. Нехай функція задовольняє умовам:1) визначена і неперервна на відрізку 2) диференційована в інтервалі ;3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .
Тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .Д о в е д е н н я.Випадок. Функція на відрізку є сталою: . Тоді , тобто в кожній точці похідна дорівнює нулю, а тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу і для цієї точки теорема буде справедлива. 2. Теорема Лагранжа Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій справджуються рівність
Д о в е д е н н я. Розглянемо функцію
,
що задовольняє всім умовам теореми Ролля. Справді, на відрізку є неперервною (як різниця двох неперервних функцій), а всередині інтервалу має похідну
;
.Отже, існує точка в якій або, що саме,
звідси
3. Теорема Коші
Теорема. Нехай: 1) функції і задані і неперервні на відрізку ; 2) диференційовані в інтервалі ; 3) похідна всередині інтервалу не дорівнює нулю. Тоді всередині інтегралу знайдеться така точка , що має місце рівність
