Похідною функції в точці називається границя відношення приростуфункції до приросту аргументу за умови, що границя існує, а приріст аргументу прямує до нуля, тобто. Нехай функція y = f (x) має в даній точці похідну
тоді
де а0, якщо х0.
Помноживши обидві частини на Ах, дістанемо:
Перший з доданків лінійний відносно х і при х0 та f'(x0)0 є нескінченно малою одного порядку з х, тому що:
Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж х, тому що:
Цей доданок не є лінійним відносно х, тобто містить х в степені, вищому від одиниці. Тоді доданок f'(x)·x називається головною частиною суми двох нескінченно малих. У даному випадку це головна частина приросту функції у і називається диференціалом функції. Диференціал функції визначається добутком похідної на приріст незалежної змінної і позначається dy або df(x).
Отже, маємо
dy = f'(x) ·x Диференціалом dy називають також диференціал першого порядку. З виразу бачимо що диференціал функції є функція двох незалежних змінних х і х. Якщо y = х, то у' = х' =1, тому dy = dx·x. Тобто диференціал незалежної змінної ототожнюється з її приростом, тобто диференціал незалежної змінної дорівнює приросту незалежної змінної. На цій підставі для будь-якої диференційованої функції y = f (x) можемо формулу записати так:
dy = f' (x) dx Останній вираз називатимемо канонічним виразом диференціала функції y = f (x). З діленням на dх (dх0), безпосередньо знаходимо:
Виходить, що похідну можна розглядати як відношення двох диференціалів. Тепер у позначенні похідної можемо надавати dy і dx самостійного значення:
Вираз можемо записати ще так:
Звідки
де Якщо х0, то й отже, і 0. Зауважимо, що коли в точці х0 похідна то перший доданок f формулі дорівнює нулю і вже не є головною частиною приросту y. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою.
