Рівняння першого степеня, що зв'язує координати точки на площині, - це рівняння
(3.3)
при умові
В декартовій системі координат на площині кожна пряма лінія може бути задана лінійним рівнянням і, навпаки, кожне лінійне рівняння (3.3) визначає пряму лінію .
Рівняння (3.3) називається загальним рівнянням прямої на площині.
Нехай точка лежить на прямій ( ). Це значить, що її координати задовольняють рівняння (3.7)
Вираховуючи із рівняння (3.7) дану рівність, одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку
(3.4)
Якщо довільна точка на прямій, то вектор повністю лежить на прямій а ліва частина рівності (3.8) виражає скалярний добуток векторів і Оскільки скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю, то вони є перпендикулярні , а це значить, що вектор перпендикулярний прямій . Вектор, який перпендикулярний до прямої називається нормальним вектором прямої. Вектор який паралельний прямій, називається направляючим вектором прямої. Очевидно, що і, наприклад,
Нехай задана пряма Позначимо через радіус-вектор її початкової точки . Розглянемо тепер деяку точку , радіус-вектор якої позначимо через (рис.3.7). Вектор , початок якого лежить на прямій, паралельний прямій тоді і тільки тоді, коли його кінець ( точка ) також лежить на прямій. В цьому
Рис.3.7
випадку для точки знайдеться таке число (параметр), що
(3.5)
Рівняння (3.5) називається векторно-параметричим рівнянням прямої.
Нехай в загальному вигляді направляючий вектор має координати Записавши рівняння (3.5) в координатній формі, одержимо параметричні рівняння прямої на площині
(3.6)
Виключаючи із рівнянь (3.6) параметр одержимо канонічне рівняння прямої (3.7)
Із рівняння (3.17) одержимо
Позначимо . Тоді одержимо рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку
(3.8)
Очевидно, що де кут, що утворює пряма (вектор ) з
додатнім напрямом осі Величину називають кутовим коефіцієнтом прямої
Позначивши через із рівняння (3.8) одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
(3.9)
Нехай дві точки і лежать на прямій Тоді за напрямний вектор можна взяти вектор, що з'єднує ці дві точки Підставивши в рівняння (3.7)
Замість і координати вектора одержимо рівняння прямої, що проходить через дві заданих точки
(3.10)
Нехай задані точки перетину прямої з осями координат і Використавши рівняння (3.10), одержимо
або
(3.11)
Рівняння (3.11) називається рівнянням прямої у відрізках.
Рівняння прямої у відрізках на осях
Якщо в загальному рівнянні прямої Ах + Ву + С = 0 С 0, то, поділивши на –С, отримаємо:або , де Геометричний зміст коефіцієнтів в тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b – координатою точки перетину прямої з віссю Оу. 1уСВхСА 1byaxBCbACa;
