Скалярним добутком двох векторів і називається добуток довжин цих векторів на косинус кута, утвореного векторами, тобто
(1).
Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них на проекцію іншого на напрям першого.
Основні властивості:
- - випливає зразу з означення .
- Скалярний квадрат вектора ā дорівнює квадрату його довжини, тобто ā2= ā*ā= |ā|2.
Перші три властивості показують, що при скалярному перемноженні суми векторів на суму вчиняють за звичайним правилом множення многочленів.
Властивість 4 вказує геометричний зміст знака скалярного добутку. Із властивості 5 витікає формула: |ā|=. (2)
Якщо відомий скалярний добуток векторів, то за формулою (2) знаходяться їх довжини, а з формули (1): . (3).
Геометричний зміст скалярного добутку: скалярний добуток вектора ā на одиничний вектордорівнює проекції ā на напрямок, який визначається , тобто: .
В случае произвольного вектора : .
Механический смысл скалярного произведения: скалярное произведение силы на вектор равно работе W этой силы при перемещении материальной точки по вектору, т. е.: W=.
Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ,,:
- =0, ==0, ==0, =1, =1, =1. (4)
Если векторы даны своими координатами: , т. е.
, то переможая эти векторы скалярно и используя формулы (4) получим выражения скалярного произведения через координаты векторов .
