Система m лінійних алгебраїчних рівнянь із n невідомими x1, x2, …, xnмає вигляд:(2.1)де aij− задані коефіцієнти при невідомих; bi− вільні члени системи. Систему можна записати у матричній формі: A ⋅X = B, де A – матриця коефіцієнтів при невідомих; X – матриця-стовпець невідомих; B – матриця-стовпець вільних членів:
Розв’язком системи (2.1) називається впорядкована сукупність чисел x1, x2, …, xn, які перетворюють у правильну рівність кожне рівняння системи. Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку. Сумісна система називається визначеною, якщо вона має лише
один розв’язок і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків.
Метод Гаусса поєднує процес дослідження сумісності системи з процесом її розв’язання. Метод складається з прямого й зворотного ходу.
Прямий хід. Якщо a11 ≠ 0, то з першого рівняння системи виражають змінну x1 через інші змінні і підставляють у 2, 3,…, m-те рівняння. У результаті змінна x1 виключається з усіх рівнянь, крім першого. Потім із другого рівняння виражають змінну x2 через x3, x4, …, xnі підставляють у 3, 4,…, m-те рівняння. У результаті змінна x2 виключається з усіх рівнянь, крім першого та другого. Аналогічно виключають змінну x3 із 4, 5, …, m-го рівнянь і т.д.
Зворотний хід. З останнього рівняння системи визначається xnі підставляється в 1, 2, ..., (n − 1) рівняння. Потім із передостаннього рівняння визначається xn-1 і підставляється в 1, 2, ..., (n − 2)рівняння і т.д. Частинним розв’язком системи рівнянь називається розв’язок, в якому всім вільним невідомім задані конкретні числові значення.
Базисним розв’язком системи рівнянь називається розв’язок, в якому всі вільні невідомі дорівнюють нулю.
Теорема Крамера. Нехай Δ – визначник матриці А, Δj – визначник, отриманий з визначника Δ заміною j-го стовпця стовпцем вільних членів. Тоді при Δ ≠ 0 система має єдиний розв’язок: xj= Δj/Δ (j = 1, 2, …, n).
