Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которой все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существует хотя бы одна из них. Такие точки называютсякритическими. Названные условия являются необходимыми условиями экстремума, но еще не достаточными (они могут выполняться и в точках, где нет экстремума). Чтобы критическая точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия. Сформулируем достаточные условия экcтремума для функции двух переменных. Пусть точка Mo(xo, yo) - критическая точка функции z = f(x, y), т.е. 
, и функция
z = f(x, y) имеет непрерывные вторые частные производные в некоторой окрестности точки Mo(xo, yo). Обозначим 
. Тогда:
1) если D > 0, то функция z имеет экстремум в точке Mo: максимум при A < 0, минимум при A > 0;
2) если D < 0, то экстремума в точке Mo нет;
3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.
