4. Th об изменении момента кол-ва движения. Первый интеграл. Закон площадей.

$\tiny \frac{d}{dt}(m\vec{v})=\vec{F}\\ \tiny \tiny \vec{r}\times \frac{d}{dt}(m\vec{v})=\vec{r}\times\vec{F}\\ \tiny \tiny\frac{d}{dt}( \vec{r}\times m\vec{v})-\frac{dr}{dt}\times(m\vec{\upsilon})=\vec{r}\times\vec{F}\\ \left\{\begin{matrix} \frac{d}{dt}(y\dot{z}-z\dot{y})=yF_{x}-zF_{y}\\ \frac{d}{dt}(z\dot{x}-x\dot{z})=zF_{x}-xF_{z}\\ \frac{d}{dt}(x\dot{y}-y\dot{x})=xF_{y}-yF_{x} \end{matrix}\right.\\$

$\tiny 1 \int : \vec{r}\times \vec{F}=0 => \vec{F} || \vec{r}=> \vec{r}\times \vec{F}=0; m=const; \vec{r}\times \vec{\upsilon}=const\\ C_{1}x+C_{2}y+C_{3}z=0; (y\dot{z}-z\dot{y}=C_{1}, ...) \\ |\vec{r}\times \vec{\upsilon}|=C\\ \frac{d\upsilon}{dt}=\frac{1}{2}|\vec{r}\times \vec{\upsilon}|=\frac{c}{2}\\ \sigma =\sigma_{0}+\frac{c}{2}t$