Определение.
Пусть E – измеримое множество. Функция f : E → R называется измеримой (на множестве E), если для любого a ∈ R измеримо множество E(f > a) = {x ∈ E : f(x) > a}.
Теорема
Для функции f, определенной на измеримом множестве E, следующие четыре свойства эквивалентны:
(1) для любого a ∈ R множество E(f >= a) измеримо;
(2) для любого a ∈ R множество E(f > a) измеримо;
(3) для любого a ∈ R множество E(f <= a) измеримо;
(4) для любого a ∈ R множество E(f < a) измеримо.
Доказательство.
(1) ⇒ (2). По определению E(f > a) = {x ∈ E : f(x) ∈ (a, +∞]}. Множество (a, +∞] можно представить в виде (a, +∞] = ∪∞ n=1 [a + 1/n, +∞] . Поэтому E(f > a) = ∪∞ n=1 E (f > a + 1/n) и, следовательно, множество E(f > a) измеримо как счетное объединение измеримых множеств.
Столь же просто обосновываются все остальные импликации:
(2) ⇒ (3) следует из равенства E(f <= a) = E \ E(f > a),
(3) ⇒ (4) следует из равенства E(f < a) = ∪∞ n=1 E (f 6 a − 1/n),
(4) ⇒ (1) следует из равенства E(f >= a) = E \ E(f < a). Теорема доказана.
