22 Устойчивость сжатых стержней.

При прямом изгибе балок направление прогиба балки может существенно отклониться от линии действия нагрузки (рис.9.1б), и, наконец, при действии внутреннего давления на цилиндрическую оболочку ее деформации в некоторый момент перестают быть осесимметричными, оболочка искривляется и принимает некоторую новую форму Во всех случаях конструкция вместо начального равновесного положения занимала новое положение равновесия. Это явление было названо потерей устойчивости. Явление потери устойчивости связано с величиной действующей нагрузки. Если, например, сила Р сжимающая стержень меньше некоторой критической величины Ркр, то стержень сохранит свое прямолинейное положение, если больше, то стержень ис кривится, потеряет устойчивость. Рассмотрим решение задачи об устойчивости сжатого стержня. Пусть стержень, оба конца которого закреплены шарнирно, сжат силой Ркр (рис.9.2). Стержень искривился так, что в сечении z прогиб составил ?. Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид: .                   Изгибающий момент в сечении z в изогнутом состоянии равен моменту силы Ркр, но обратного направления, а, следовательно, и знака . Тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси балки в направлении минимальной жесткости будет . Обозначая   (9.1) получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно прогиба ? . Его общее решение имеет вид , где С и D – постоянные интегрирования, определяемые из условий на опорах. На опорах стержня прогиб равен нулю, т.е. 1) при z=0,  ?=0;  2) при z=l,  ?=0. Подставляя первое условие в уравнение прогибов получим С=0, из второго условия получим  . Последнее соотношение справедливо при  , где n – любое целое число. Откуда  , с учетом принятого ранее обозначения (9.1), получим  . Минимальное действительное значение критической силы получится при n=1 .                                         (9.2) Это и есть формула Эйлера для критической силы. Прогиб стержня с шарнирным закреплением концов происходит по синусоиде с одной полуволной . Критическая сила. Предельное значение силы, при котором прямолинейное положение стержня становится неустойчивым, называется критической силой. Формула Эйлера. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа   выполнено следующее равенство: , где   — основание натурального логарифма,  — мнимая единица.