Пусть ф-ция монотонна на [a;b].Для того,чтобыf(x)была непрерывна на[a;b]
чтобы образом [a;b]также был отрезок с концамиf(a)иf(b)(f([ab])=(m,M),где m=min(f(a),f(b)),M=max(f(A),f(b)).
и монотонна на [a;b]=> (теорема о промежуточных значениях ф-ции, непрерывной на [a;b])=> f([a;b])=[m;M]
От противного:пусть
разрыва 1-го рода, то есть Тогда хотя бы в одном изI1=(f(c-0);(c)),I2=(f(c);f(c+0))(дляf ↑)(илиI1’=(f(c);f(c-0)),I2’=(f(c+0);f(c))(дляf ↓))не будет значений самой ф-ции, то есть а это противоречит условию, что образ отрезка[a;b]является отрезком с концами m и M(f(a)иf(b)).Значит предположение было неверно=> Δ
26.