Ф-ция называется непрерывной в точке , если выполняется система:
f(x) называется непрерывной на мн-ве , если она непрерывна в каждой точке этого мн-ва.
Локальные св-ва непрерывных ф-ций. Пусть непрерывна в Тогда:
1) (ограниченность в ) f(x) ограничена в некоторой окрестности :
2) (арифметические св-ва) Если g(x): тоже непрерывна в , то:
А) (f+g)(x)≡f(x)+g(x) – непрерывна в ;
Б) f*g(x)≡f(x)*g(x) – непрерывна в ;
В)
3) (сохранение знака) Если в которой все значения f(x) имеют тот же знак, что и
4) непрерывность композиции). Пусть f:X→Y непрерывна в точке и g:Y→Z непрерывна в
Тогда (g◦f)(x)≡g(f(x)): X→Z непрерывна в
Δ Доказательство утверждений 1) и 2) следует из определения непрерывности в точке и соответствующих св-в предела Например 2а:
непрерывна в
3) Непрерывность f(x) в (по Коши) означает, что
А) Если f(x)>0
Б) Если
4) Надо показать, что Так как g(y) непрерывна в точке
. Для f роль
g(f(x)) непрерывна в точке . Δ
18.
