Если – произвольная дейстительнозначная посл-ть, а произвольная возрастающая натуральнозначая, то есть называется подпосл-тью посл-ти .
Если имеет предел то этот предел а называется частичным пределом исходной посл-ти .
Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной посл-ти можно віделить сходящуюся подпосл-ть.
Δ Пусть – ограничена, и Е – мн-во её значений. Тогда возможны 2 случая:
А) Е – конечное: пусть Тогда существует по крайней мере одно значение, которое принимается членами посл-ти бесконечное кол-во раз Выберем те члены посл-ти, значение которых равно Тогда подпосл-ть
Б) Е – бесконечное (и ограниченное по условию) => хотя бы одна предельтая точка мн-ва Е. Пусть а – предельная точка Е. Строим : находим
– сходящаяся Δ
Расширение теоремы Больцано-Вейерштрасса. Из любой неограниченной посл-ти можно выбрать бесконечно большую подпосл-ть определенного знака, в частности, из неограниченной снизу можно выбрать ббп с пределом -∞, а из неограниченной сверху – ббп с пределом +∞.
Критерий существования предела посл-ти в терминах частичных пределов). Для того, чтобы посл-ть имела предел а (конечный или бесконечный определенного знака) необходимо и достаточно, чтобы верхний и нижний пределы этой посл-ти были равны.
8.
