Одноканальная система массового обслуживания с отказами

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания. При этом плотность распределения длительностей интер­валов между поступлениями требований имеет вид
     
     где λ — интенсивность поступления заявок в систему (среднее число заявок, поступающих в систему за единицу времени).
     Плотность распределения длительностей обслуживания:
     ,
     где  – интенсивность обслуживания, tоб – среднее время обслуживания одного клиента.
     Пусть система работает с отказами. Можно определить абсолютную и относительную пропускную способность системы. 
     Относительная пропускная способность равна доли обслуженных заявок относительно всех поступающих и вычисляется по формуле: . Эта величина равна вероятности Р0 того, что канал обслуживания свободен.
     Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени: .
     Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал обслуживания занят»:
     .
     Данная величина Ротк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.
     Пример. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания для мойки автомобилей. Заявка — автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей λ 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — tоб=1,8 часа. 
     Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
     относительной пропускной способности q;
     абсолютной пропускной способности А;
     вероятности отказа Ротк;
     Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.
     Решение
     Определим интенсивность потока обслуживания:
     .
     Вычислим относительную пропускную способность:
     q =.
     Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост автомобилей.
     Абсолютную пропускную способность определим по формуле: А=λ×q=1×0,356=0,356.
     Это означает, что система способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
     Вероятность отказа:
     Ротк=1-q=1-0,356=0,644.
     Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.
     Определим номинальную пропускную способность системы:
     Аном= (автомобилей в час).
     Оказывается, что Аном в  раза  больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.