Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием.
Пусть входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью l.
Интенсивность потока обслуживания равна m. Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что СМО не может вместить более N заявок, т.е. заявки, не попавшие в ожидание, покидают СМО. Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
- канал свободен;
- канал занят, очереди нет;
- канал занят, одна заявка в очереди;
.................................................................
- канал занят, n-1 заявка в очереди;
.................................................................
- канал занят, N-1 заявка в очереди.
Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
, n=0,
...................................
-( , 0<n<N,
...................................
, n=N,
где ;
n - номер состояния.
Система уравнений имеет следующее решение::
,
, если , n=1, 2, ..., N,
при .
Выполнение условия стационарности r < 1 не обязательно, поскольку число допускаемых в СМО заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди. Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):
1) вероятность отказа в обслуживании заявки:
;
2) относительная пропускная способность СМО:
;
3) абсолютная пропускная способность СМО:
;
4) среднее число находящихся в СМО заявок:
;
5) среднее время пребывания заявки в СМО:
;
6) средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
;
7) среднее число заявок в очереди (длина очереди):
;