пользователей: 21209
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

I семестр:
» Экономика
» ТАУ

Фазовые траектории линейных систем второго порядка.

Пусть переходный процесс в некоторой системе описывается ДУ второго порядка     (2), введем обозначение для скорости изменения отклонения управляемой величины   (3). Исключив из уравнений (3) время t, разделив 2 из них на 1:  (4) – ДУ фазовой траектории.

Решение уравнения (4)  определяет собой некоторое семейство так называемых интегральных кривых на фазовой плоскости (х,у), каждая из которых соответствует одному определенному значению произвольной постоянной c.

Уравнению (2) соот-ют корни хар. уравнения:

причем возможны шесть случаев:                                                           

1) корни чисто мнимые при а1 = 0, а2 >0 (колебательная граница устойчивости линейной системы); Незатухающие колебания. ;  

с постоянной амплитудой А и начальной фазой β, которые зависят от начальных условий.

Каждому начальному условию (x0;y0) соответствует свой эллипс. Начало координат, как траектория есть вырожденный эллипс (х=0,у=0). Это есть особая точка, определяющая положение равновесия системы. Особая точка в начале координат, окруженная множеством замкнутых циклов, определяемых н.у., называется особой точкой типа центр, эта точка устойчива по Ляпунову.

2) корни комплексные и имеют отрицательные вещественные части при a12 <4a2, а1 > 0, а2 > 0 (устойчивая линейная система);

Затухающие колебания. , где

а произвольные постоянные A и β определяются из н.у. х=х0, у=у0=

Особая точка (0;0) к которой сходятся все фазовые траектории при любых н.у. называется устойчивым фокусом или центром притяжения.

3) корни комплексные и имеют положительные вещественные части при a12 <4a2,  а1<0, а2>0  (неустойчивая линейная система); Расходящиеся колебания.

Особая точка (0;0) неустойчивый фокус.

4) корни вещественные отрицательные при a12 <4a2,  а1>0, а2>0 (устойчивая линейная система); апериодический процесс.

, где 

Все фазовые траектории вливаются в начало координат фазовой плоскости (0;0). Однако, изображающая точка М не попадает в начало координат в конечное время. Приближается асимптотически. Особая точка (0;0) называется устойчивым узлом.

5) корни вещественные положительные при a12 <4a2,  а1<0, а2>0 (неустойчивая линейная система);

О – особая точка (0;0) – неустойчивый узел.

6) корни вещественные и имеют разные знаки при а2<0 (неустойчивая линейная система); в частности, один из корней будет равен нулю при а2=0 (апериодическая граница устойчивости линейной системы).

Особая точка (0;0) – седло. Она соответствует положению равновесия.


09.04.2014; 13:26
хиты: 276
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь