Нелинейные регрессионные модели делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Для каждого из этих двух классов моделей разработаны свои методы решения. Рассмотрим некоторые (наиболее часто используемые на практике) нелинейные модели, для которых возможно сведение к линейным. Для того чтобы свести нелинейную модель к линейной (линеаризовать модель) обычно с помощью некоторых преобразований переменных нелинейную модель представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными, оценивают коэффициенты этого соотношения и затем, с помощью обратного преобразования, находят оценки параметров исходной нелинейной модели. Сразу заметим, что не всякая нелинейная модель может быть оценена подобным образом, в ряде случаев невозможно подобрать подходящее преобразование, линеаризующее модель. В этом случае приходится использовать методы нелинейной оптимизации. Говоря о нелинейных моделях, часто выделяют модели, нелинейные по переменным (но линейные относительно параметров) и модели, нелинейные по оцениваемым параметрам. Оценка моделей, нелинейных по объясняющим переменным, но линейных по оцениваемым параметрам не представляет особой сложности: в этом случае обычно используют замену переменных для сведения модели к линейной и оценки параметров с помощью обычного МНК (примененного к модели с замененными переменными). , где - полностью определенные функции, не имеющие оцениваемых параметров. Такие регрессии, в частности, получаются при разложении исходной нелинейной зависимости по системе ортогональных функций: в ряд Тейлора, в ряд Фурье, по Вейвлет функциям, по полиномам Лежандра и так далее. Так при разложении исходной нелинейной зависимости в ряд Тейлора имеем: . В результате получим аппроксимацию исходной нелинейной зависимости полиномом n-й степени . Полиномы носят универсальный характер и могут использоваться для аппроксимации любых нелинейных функций. Пусть существует нелинейная функция При использовании правила разложения в ряд Тейлора получим На практике среди подобных полиномиальных регрессий наиболее часто встречаются полиномы второй степени и третьей (квадратичная или параболическая и кубическая регрессии). Регрессионная модель в этом случае для полинома второй степени имеет вид . Для полинома третьей степени (кубическая регрессия) регрессионная модель имеет вид: . Так, квадратичная функция может отражать зависимость между объемом выпуска и издержками (средними или предельными) или между расходами на рекламу и прибылью. Обычно эта функция используется тогда, когда внутри рассматриваемого интервала изменения фактора прямой или обратный характер зависимости изменяется на противоположный. Кубическая функция в макроэкономике отражает зависимость общих издержек от объема выпуска. Полиномиальные функции хорошо подходят для моделирования эффекта масштаба, анализа максимумов и минимумов. При получают полином первой степени – линейную зависимость. Линейный тренд означает, что уровни ряда изменяются с одинаковой скоростью. Параметр означает начальный уровень тренда при . Параметр характеризует средний прирост в единицу времени. Убедимся в этом, подставив в уравнение дискретные значения времени.
Можно предложить несколько признаков «хорошей» модели. 1. Модель всегда является упрощением реальности, поэтому должна быть достаточно проста. Из двух моделей, приблизительно одинаково соответствующих данным, предпочтение скорее следует отдать более простой модели, содержащей, например, меньшее число объясняющих переменных. 2. Модель должна соответствовать теоретическим предпосылкам и сущности рассматриваемого явления. При выборе вида модели важно иметь в виду интерпретацию параметров зависимости. Так, в линейных моделях коэффициент при объясняющей переменной показывает изменение зависимой переменной при увеличении объясняющей переменной на единицу или предельный эффект объясняющего фактора. Эластичность— численная характеристика изменения одного показателя (например: спроса или предложения) к другому показателю (например: цене, доходу) и показывающая, на сколько процентов изменится первый показатель при изменении второго на 1%. Эластичность спроса по цене, ценовая эластичность спроса (price elasticity of demand) — относительное изменение объема спроса при изменении цены на 1 %. , где Q - спрос(количество); P - цена. Для измерения процентного изменения величины спроса используется формула средней точки Аллена. При анализе модели часто вычисляют коэффициенты эластичности, характеризующие влияние фактора на зависимую переменную. Коэффициент эластичности вычисляется по формуле: . Для парной линейной регрессии коэффициент эластичности равен . Нетрудно видеть, что коэффициент эластичности для линейной зависимости непостоянен, зависит от значения , поэтому в таких случаях обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности . Среди нелинейных зависимостей в эконометрических исследованиях широко используется степенная зависимость. Это, в частности, связано с тем, что коэффициент имеет четкое экономическое обоснование — он является коэффициентом эластичности, только для степенной зависимости представляет собой постоянную величину . и показывает, на сколько процентов изменится результат, если фактор изменится на 1%. Эту зависимость имеет смысл использовать тогда, когда есть основания предполагать постоянство эластичности. Рассмотрим степенную модель . Откуда . Следовательно, коэффициент β показывает в данном случае процентное изменение спроса на товар при изменении дохода или цены товара на один процент. На практике зависимость спроса на товар от цены обычно объединяется с зависимостью спроса от дохода (с кривыми Энгеля), в результате чего получается зависимость спроса на товар одновременно от цены и от дохода. Такие зависимости строятся методами множественной регрессии, и мы будем изучать их в следующей главе. Для линейно логарифмической зависимости коэффициент при объясняющей переменной показывает, на сколько единиц возрастет , если увеличится на 1% (при интерпретации коэффициент следует делить на 100). Эластичность для этой модели убывает с ростом . Для логарифмически линейных зависимостей коэффициент при независимой переменной показывает, на сколько процентов возрастает при возрастании на одну единицу (при интерпретации коэффициент следует умножать на 100). Эластичность для логлинейной зависимости растет с ростом . Если в качестве объясняющей переменной рассматривать время, то коэффициент при времени выражает темп прироста и показывает, насколько процентов (если его умножить на 100) возрастает за единицу времени.
