1. Математическое ожидание случайного отклонения равно нулю для всех наблюдений. Данное условие означает, что случайное отклонение в среднем не оказывает влияния на зависимую переменную. В каждом конкретном наблюдении случайный член может быть либо положительным, либо отрицательным, но он не должен иметь систематического смещения.
2. Дисперсия случайных отклонений постоянна для любых наблюдений. Это условие подразумевает, что несмотря на то, что при каждом конкретном наблюдении случайное отклонение может быть либо большим, либо меньшим, не должно быть некой априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение).
Выполнимость данной предпосылки называется гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений). Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянством дисперсии отклонений).
3. Случайные отклонения ui и uj являются независимыми друг от друга для ij. Выполнимость данной предпосылки предполагает, что отсутствует систематическая связь между любыми случайными отклонениями. Другими словами, величина и определенный знак любого случайного отклонения не должны быть причинами величины и знака любого другого отклонения. Выполнимость данной предпосылки влечет следующее соотношение:
Поэтому, если данное условие выполняется, то говорят об отсутствии автокорреляции.
4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных.
Обычно это условие выполняется автоматически, если объясняющие переменные не являются случайными в данной модели. Данное условие предполагает выполнимость следующего соотношения:
5. Модель является линейной относительно параметров.
Теорема Гаусса-Маркова. Если предпосылки 1-5 выполнены, то оценки, полученные по МНК, обладают следующими свойствами:
- Оценки являются несмещенными, то есть М(b0) = 0, М(b1) = 1, где b0 , b1) – коэффициенты эмпирического уравнения регрессии, а 0, 1 – их теоретические прототипы. Это вытекает из первой предпосылки и говорит об отсутствии систематической ошибки в определении положения линии регрессии.
- Оценки состоятельны, так как дисперсия оценок параметров при возрастании числа n наблюдений стремится к нулю. Другими словами, при увеличении объема выборки надежность оценок увеличивается (коэффициенты теоретического и эмпирического уравнений регрессии практически совпадают).
- Оценки эффективны, то есть они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми оценками данных параметров, линейными относительно величин yi.
Если предпосылки 2 и 3 нарушены, то есть дисперсия отклонений непостоянна и (или) значения случайных отклонений связаны друг с другом, то свойства несмещенности и состоятельности сохраняются, но свойство эффективности – нет.
Наряду с выполнимостью указанных предпосылок при построении классических линейных регрессионных моделей делаются еще некоторые предположения. Например:
- объясняющие переменные не являются СВ;
- случайные отклонения имеют нормальное распределение;
- число наблюдений существенно больше числа объясняющих переменных.
