Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет видгде и -- положительные числа. Исследем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому
Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому
где , .Вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости .Если , то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси
Опр Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет видгде и -- положительные числа.
Исследуем форму гиперболического параболоида. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтомуЭто уравнение определяет на плоскости пару прямых ,Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтомуЭто уравнение на плоскости задает параболу, ветви которой направлены вниз. Сечение плоскостью также является параболой