Опр. Пусть А - произвольное множество, 
- его декартов квадрат. Внутренней бинарной алгебраической операцией на множестве А называют отображение 
.Иначе,на множестве А задана алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре элементов множества А поставлено в соответв, по некоторому правилу, определенный для этой пары элемент мн.А. Запись: (a,b)->c, a*b=c, где а,b,c прин. А., *-обозн операции. В алгебре в общ случае рассматривают n-арные операции, где н -любой явл отображение мн. A^n в А. Любое мн с заданными на нем операциями назыв. алгебраич. структурой или просто алгеброй. Операция * заданная на мн А назыв ассоциатив, если для любых эл а,б, с мн А выполн равенство: (a*b)*c=a*(b*c), операция коммутативна, если а*б=б*а. Операция о дистрибутивна относ *, если для ...выполн равенства: (а*б)°ос=(а°с)*(б°с); с°(a*b)=(c°a)*(c°b). На мн целых чисел опрация "сложение" явл ассоц, коммут, а операц "вычит" нет.
Группа: называется непустое множество G, на котором определена одна внутр бинарная алгебраическая операция *, И выполн условия: 1.операция * ассоциат, 2. в G есть нейтр элемент: a*e=e*a=a. 3. Сущ симметричного эл. a': a*a'=a'*a=e. Примеры групп: 1.мн. целых(рац, дейст, компл) чисел относ опер +, 2.мн четных чисел отн операц сложения. 3. мн всех векторов плоск D2(прост D3) выход из начала координат с опер слож векторов. 4. мн всех невырожденых матриц порядка n с дейст эл. с опер +. 5. мн всех подстановок с операцие умнож.
Группа G с опер * назыв коммут или абелевой, если опер * коммутативна. Число эл в группе G(если оно конечно) назыв порядком. Для любого положит числа м мн классов вычетов по мод м образует абелеву группу конеч порядк(порядка м)
