Конечные цепные дроби. Подходящие дроби данной цепной дроби

Конечной цепной дробью называется число следующего вида:Теорема: Всякое рационалное число можно записать в виде конечной цепной дроби. a\b=37/81. 37=0*81+37,a0=0,  81=37*2+7,a1=2,   37=7*5+2, a2=5,   7=2*3+1,   a3=3, 2=1*2+0, a4=2, [0.2.5.3.2].  Док-во теоремы: a/b,  a,b c Z, b≤1,   a=ba₀+r₁   0<r₁<b;    b=r₁a₁+r_2, 0<r₂<r₁;     r₁=r₂a₂+r₃, 0<r₃<r₂; r_n-1=r_na_n,  a_n>=1.  Подходящие дроби, данной цепной дроби. Пусть дана дробь вида(1). A₀=a₀, A₁=a₀+(1/a₁)...A_k=a₀+ 1/ a₁+ 1/a₂+... 1\a_k, A0,A1 итд  -подходящие дроби цепной дроби(1). Для них справедливы ф-лы: A_k=P_k\Q_k, 0≤k≤n, где P₀=a₀, Q₀=1, P₁=a₁a₀+1, Q₁=a_1, P_k=a_k*P_k-1+P_k-2 , Q_k=a_k*Q_k-1+Q_k-2, где 2≤k≤n. Док-во: A0=a0=Po\Qo, Po=a0 Qo=1...  Всякая подход дробь- несократима.