пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Нечеткие множества и нечеткая логика.

Для формализации нечетких знаний, характеризуемых лингвистической неопределенностью, применяется теория нечетких или расплывчатых множеств. Основы теории нечетких множеств были созданы в 1965 году Л.А. Заде (США).

Пусть имеется множество Х и его собственное множество А, т.е. А € Х.  Тогда подмножество А можно представить в виде совокупности упорядоченных пар:

Untitled-5_clip_image002.png 

Причем:
Untitled-5_clip_image004.png 

Рассмотрим в качестве примера  множество, представляющее возможные значения температуры воздуха. Тогда введение функции принадлежности, условно изображенной на Рисунок 6.3 сплошной линией, позволит выделить подмножество отрицательных температур, а изображенной пунктирной линией- подмножество положительных температур. При этом нулевая температура относится ко второму подмножеству.

Untitled-5_clip_image005_0000.png 

Рисунок 6.3 Функция принадлежности для четкого множества

Untitled-5_clip_image007_0000.pngПриведенное определение подмножества A и пример функции принадлежности, принимающей всего два возможных значения 0 и 1, соответствует четкому (обычному) подмножеству. Определение нечеткого подмножества получается как обобщение этого определения. Нечетким подмножеством А множества Х будем называть совокупность упорядоченных пар:

Untitled-5_clip_image009_0000.png
где функция принадлежности mA(x) каждому элементу х ставит в соответствие действительное число из интервала [0, 1], указывающее степень принадлежности элемента х подмножеству  А.

Математическая структура, определяемая выражением

А = {(х1 |0,8) , (х2 |0,3), (х3 |0), (х4  |0,5 )},

где х1, х2, х3, х4  - элементы универсального множества X, представляют собой пример нечеткого подмножества. Здесь степени принадлежности элементов х1, х2, х3, х4  подмножеству А заданы числами после вертикальной черты. Наивысшую степень принадлежности имеет элемент х1. Элемент х3  подмножеству А не принадлежит. Элементы х2 и х4  принадлежат А в меньшей степени, чем х1 . Таким образом, используя понятие нечеткого подмножества, можно представлять объекты (сущности) предметной области, характеризуемые размытыми границами описаний.

Нечеткое множество А называется нормальным, если

Untitled-5_clip_image011.png 

Если это свойство не выполняется, то А называется субнормальным. Непустое подмножество А всегда можно нормализовать делением на максимальное значение функции принадлежности. Носителем нечеткого подмножества А называется подмножество элементов Х, для которых mA(x) > 0. Переменная x называется базовой.

При практическом применении нечетких множеств важным являются понятия нечеткой и лингвистической переменной. Лингвистическая переменная (ЛП) – это переменная, значение которой определяется набором вербальных характеристик некоторого свойства. Например «рост» определяется через набор {карликовый, низкий, средний, высокий, очень высокий}.

Приведем пример из  интерпретации значений ЛП «возраст», который может быть определен через набор {младенческий, детский, юный, молодой, зрелый, старый}. Для ЛП «возраст» базовая шкала от 0 до 120 лет, обозначающая количество прожитых лет, а функция принадлежности определяет, насколько мы уверены в том, что данное количество лет можно отнести к данной категории возраста. Рисунок 6.4 показывает, как одни и те же значения базовой шкалы могут участвовать в определении различных нечетких множеств.

 

Untitled-5_clip_image012.png 

Рисунок 6.4 Формирование нечетких множеств

Определим значение нечеткого множества «младенческий возраст»:

Untitled-5_clip_image014.png

Основные операции с нечеткими множествами

Обозначим через А и В нечеткие подмножества множества Х.

Тогда нечеткие множества А и В равны, если:

А=В, если Untitled-5_clip_image016.png

Множество А содержится в В, если:

Untitled-5_clip_image018.png

Нечеткие множества А и В дополняют друг друга, если:

Untitled-5_clip_image020.png

Множество с функцией принадлежности Untitled-5_clip_image022.pngесть дополнение к множеству А (обозначается Untitled-5_clip_image024.png).

Пересечение двух нечетких множеств А и В (обозначается Untitled-5_clip_image026.png):

Untitled-5_clip_image028.png

Объединение двух нечетких множеств А и В (обозначается Untitled-5_clip_image030.png):

Untitled-5_clip_image032.png

Операции пересечения и объединения нечетких множеств ассоциативны и дистрибутивны.

Алгебраическое произведение нечетких множеств А и В (обозначается Untitled-5_clip_image034.png)есть нечеткое множество, для которого

Untitled-5_clip_image036.png

Алгебраическая сумма нечетких множеств А и В (обозначается Untitled-5_clip_image038.png)есть нечеткое множество с функцией принадлежности

 

Untitled-5_clip_image040.png

Дизъюнктивная сумма нечетких множеств А и В определяется через операции объединения и пересечения

Untitled-5_clip_image042.png,

где выражения Untitled-5_clip_image044.png и Untitled-5_clip_image046.png представляют соответствующие разности множеств А и В. В общем случае  Untitled-5_clip_image048.png.

Важным понятием теории нечетких множеств является нечеткое отношение. Нечетким бинарным отношением Untitled-5_clip_image050.pngназывается подмножество декартового произведения двух множеств Untitled-5_clip_image052.png и Untitled-5_clip_image054.png :

Untitled-5_clip_image056.png,

где Untitled-5_clip_image058.png- функция принадлежности пары элементов (Untitled-5_clip_image060.png) к P.

В общем случае n – арное отношение Pопределяется на прямом произведении множеств Untitled-5_clip_image062.png с помощью формулы

Untitled-5_clip_image064.png,

где Untitled-5_clip_image066.png элементы множества Untitled-5_clip_image068.png.

Пусть множества X и Yсостоят из элементов X={1.2}, Y={1.2,2.1,5}.Зададим нечеткое  нечеткое бинарное множество в виде матрицы, элементами которой будут значения Untitled-5_clip_image070.png:   

Untitled-5_clip_image072.png      Untitled-5_clip_image074.png

Untitled-5_clip_image076.png

В частности, данная матрица может представлять нечеткое отношение “X примерно равно Y“.

Часто нечеткие отношения используются для представления правил типа если А то В , где А и В нечеткие подмножества (Untitled-5_clip_image078.png). Такое правило обозначает Untitled-5_clip_image080.png. Один из способов задания нечеткого множества состоит в использовании формулы декартового произведения множеств А и В (обозначаемого Untitled-5_clip_image082.png):

Untitled-5_clip_image084.png,

Здесь

Untitled-5_clip_image086.png,

причем Untitled-5_clip_image088.png.

 

Нечеткая логика высказываний строится из пропозициональных переменных, логических связок и интерпретаций каждой пропозициональной переменной в некоторое нечеткое множество.

Логическим связкам соответствуют операции над нечеткими множествами.

 


23.01.2014; 15:02
хиты: 0
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь