Модальная логика строится на основе логики высказываний за
счет добавления новых знаков, позволяющих выражать отношение
тех или иных высказываний к окружающей действительности. Как
правило, это суждения о возможности или необходимости чего-
либо.
Классическая логика имеет дела с ассерторическими2 выска-
зываниями, которые утверждают наличие или отсутствие той или
иной ситуации. Однако в жизни приходится иметь дело с выска-
зываниями, содержащими указание на необходимость или возмож-
ность чего-либо. Это связано с элементами случайного в природе
или имело место в прошлом, но чего нет в данный момент. Выска-
зывания этого рода называют модальными .
Различают три типа модальностей, каждый из которых подразде-
ляется на виды:
• Алетические модальности. Это высказывания, содержа-
щие такие виды модальности, как «необходимо», «возможно»,
«невозможно», «случайно».
• Деонтические модальности. Это модальности, связанные
с характеристиками действий и поступками людей в обще-
стве. Например, «обязательно», «разрешено», «запрещено»,
«безразлично».
• Эпистемические модальности. Характеристики наших
знаний. Можно назвать такие виды модальности этого типа,
как «доказано», «опровергнуто», «не доказано», «не опроверг-
нуто», «знает», «верит», «убежден», «сомневается».
Если же к исчислению Т добавить аксиому:
не([]A)->[](не([]A)), то получается исчисление S5
Наконец, брауэрово исчисление получается за счет добавления
к исчислению Т аксиомы Брауэра:
A->[](<>A), где <>A=не([](неA)). Читаетс как "Возможно А".
Модальное исчисление, содержащее правило Гёделя называется нормальным
Исчисление S4, расширенное за счёт добавления аксиомы Брауэра, эквивалентно исчислению S5
