Гуц вещает:
Формальная теория - это способ изложения логики без приписы-
вания пропозициональным переменным, предикатам и формулам
какого-либо значения. По замыслу создателей формальных теорий
(Гильберт и др.) таким образом молено избежать многих непри-
ятностей, возникающих при использовании в логике человеческого
языка, допускающего двусмысленность, недосказанность, переина-
чивание исходно заложенного значения, смысла и т.д.
Формальная теория - это игра со знаками, игра со словами и
предложениями, составленными из знаков. При этом имеется в ви-
ду, что правила составления слов из знаков и правила игры со сло-
вами и предложениями заранее оговорены, точно и строго пропи-
саны. В основе формальной теории - язык, на котором «разгова-
ривает теория». На первое место выходит синтаксис этого языка,
т.е. способ построения формул, в противопоставление семантике.
Формальная теория Т состоит из следующих компонент:
1. Множества знаков, образующих алфавит языка теории.
2. Множества слов, составленных из знаков алфавита, называе-
мых формулами.
3. Подмножества формул всего множества формул, называемых
аксиомами.
4. Множества правил вывода, с помощью которых из формул
получают формулы.
В язык теории Т входит алфавит и формулы. Количество ак-
сиом может быть конечным или бесконечным. В последнем случае
для наглядного представления они задаются с помощью схем. По
схемам легко выписываются сами аксиомы. Под логическими акси-
омами, как правило, понимают аксиомы базовой логики, над кото-
рой надстраиваются конкретные теории за счет добавления новых
аксиом, отражающих специфику конкретной теории. Такие аксио-
мы называют нелогическими.
Обычно формулы состоят из конечного числа знаков. Но быва-
ют теории с бесконечно длинными формулами, т.е. с формулами,
содержащими бесконечное число знаков.
Синтаксис
1)характерные для конкретных языков средства и правила создания речевых единиц; 2) раздел грамматики, изучающий способы соединения слов в словосочетанияи предложения, соединение предложений в сложные предложения.
Семантика [< rp. semanticos обозначающий] - 1) смысловая сторона
единиц языка, словосочетаний; 2) раздел логики, исследующий отношения логических знаков к понятиям и предметам действительности.
Формальная теория (И) – это
А) Набор символов – алфавит(А(И));
Б) Формулы(Е(И)) – осмысленные последовательности;
В) Аксиома(Ах(И)) – базовое утверждение, которое не доказывается;
Г) Правила вывода(К(И)).
Доказательством в этой теории – последовательность формул, каждая из которых, либо является аксиомой, либо получается из предыдущих по одному из правил вывода.
Формула называется доказуемой(|-F), если существует доказательство где формула стоит на последнем месте.
Семантическая истинность:
Интерпретация – каждая Ф – значение истинности.
Если Ф=1 при любой интерпретации, то она называется тождественно истинной
|=Ф
Семантика:
- Значение истинности
- Интерпретация
- Тождественная истинность
Формальная теория(И) не противоречива, если из |-Ф следует |=Ф. Обратно не все |-Ф.
Исчисление называется полным, если из |=Ф следует |-Ф.
Основная задача математической логики – разработка и строгое обоснование правильности формальной теории, в том числе непротиворечивости и полноты.
