Рассмотрим систему, состоящую из электрона e, который движется в кулоновском поле ядра зарядом Ze. Такую систему называют водородоподобной. При Z = 1 это атом водорода, при Z = 2 – однократно ионизированный атом гелия – ион He+ , при Z = 3 – двукратно ионизированный атом лития Li++ и т.д.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в такой системе равна
U(r) = -Ze2/r
где r – расстояние между электроном и ядром. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
∇2Ψ + (2m/ħ2)(E + Ze2/r)Ψ = 0
Поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, зависит только от r. Поэтому решение уравнения Шредингера будем проводить в сферической системе координат r, q, f, где оператор Лапласа ∇2 имеет вид:
Решение уравнения Шредингера проводят методом разделения переменных. В итоге в области отрицательных значений энергии E возможны только дискретные значения E, а именно
En = - (me2/2ħ2)(Z2/n2) , n = 1, 2, 3,...
Случай E < 0 соответствует связанным состояниям электрона (электрону в атоме). Следовательно, решение уравнения Шредингера приводит в случае E < 0 дискретизации состояний электрона без использования дополнительных постулатов (например постулатов Бора).
Различие интерпретации относится только к состояниям электрона: в теории Бора электрон движется по замкнутой орбите; в квантовой теории орбита не имеет физического смысла. Собственные функции уравнения Шредингера содержат три целочисленных параметра – n, l, m:
Ψ = Ψnlm(r, θ, φ)
где n – главное квантовое число, m - магнитное квантовое число, l – орбитальное квантовое число. В процессе решения выяснилось, что решения удовлетворяющие естественным условиям, получаются при
l < n-1. Таким образом, при данном n число l может принимать значения:
l = 0, 1, 2, …, n-1
т.е. всего n значений. При данном l число m может принимать 2l+1 различных значений:
m = 0, ±1, ±2, …, ±l
Поскольку энергия En электрона зависит только от главного квантового числа n, то каждому собственному значению En соответствует несколько собственных функций Ψnlm , отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что электрон может иметь одно и тоже значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Например, энергией E2 (n = 2) обладают четыре состояния: Ψ200, Ψ21-1, Ψ210, Ψ21+1
Кратность вырождения: состояния с одинаковой энергией называют вырожденными, а число различных состояний с определенным значением энергии En — кратностью вырождения данного энергетического уровня. Число N различных состояний для данного n равно
N = l=0∑n-1(2l+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2
С учетом спина электрона кратность вырождения n-го энергетического уровня
N = 2n2
Символы состояний: различные состояния электрона в атоме принято обозначать малыми буквами латинского алфавита в зависимости от l
Значения главного квантового числа n указывают перед символом состояния с данным l.
1s; 2s, 2p; 3s, 3p, 3d;
Собственные функции уравнения Шредингера представляют собой произведения двух функций
Ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r) Ylm(θ, φ)
где первый множитель зависит от n и l, второй от l и m.
Рассмотрим плотность вероятности местонахождения электрона в состоянии 1s атома водорода, которое является сферически-симметричным, т.е. Ψ-функция зависит только от r:
Ψ1s ~ exp(-ɑr)
где ɑ = 1/r1; r1 – боровский радиус.
Вероятность нахождения электрона в объеме dV = 4πr2dr, тогда dP нахождения электрона в 1s слое будет равна:
dP = Ar2Ψ2dr
где А – нормировочный коэффициент. Отсюда плотность вероятности, отнесенной к единице толщины вблизи радиуса r есть:
dP/dr = Ar2exp(-2ɑr) ~ r2exp(-2ɑr)
плотность вероятности стремится к нулю при r→0 и при r →∞. Плотность вероятности достигает максимума при
rm = 1/ɑ = r1
что соответствует радиусу первой боровской орбиты электрона в атоме водорода.
График плотности вероятности местонахождения электрона в сферическом слое единичной длины.
Распределение электронного облака в других состояниях при усреднении Ψ-функции по углу q. Видно, что максимумы соответствуют с состояниями l=n-1.