пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Квантование атома водорода.

Рассмотрим систему, состоящую из электрона e, который движется в кулоновском поле ядра зарядом Ze. Такую систему называют водородоподобной. При Z = 1 это атом водорода, при Z = 2 – однократно ионизированный атом гелия – ион He+ , при Z = 3 – двукратно ионизированный атом лития Li++ и т.д.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в такой системе равна

    U(r) = -Ze2/r

где r – расстояние между электроном и ядром. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид

    ∇2Ψ + (2m/ħ2)(E + Ze2/r)Ψ = 0

 

Поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, зависит только от r. Поэтому решение уравнения Шредингера будем проводить в сферической системе координат r, q, f, где оператор Лапласа ∇2 имеет вид:rFrJoB2d2qawHhzGM8EhxOH-Xrc5SWUOydLbPyiy

Решение уравнения Шредингера проводят методом разделения переменных. В итоге в области отрицательных значений энергии E возможны только дискретные значения E, а именно

    En = - (me2/2ħ2)(Z2/n2)        , n = 1, 2, 3,...

 

Случай E < 0 соответствует связанным состояниям электрона (электрону в атоме). Следовательно, решение уравнения Шредингера приводит в случае E < 0 дискретизации состояний электрона без использования дополнительных постулатов (например постулатов Бора).

 

Различие интерпретации относится только к состояниям электрона: в теории Бора электрон движется по замкнутой орбите; в квантовой теории орбита не имеет физического смысла. Собственные функции уравнения Шредингера содержат три целочисленных параметра – n, l, m:

    Ψ = Ψnlm(r, θ, φ)

где n – главное квантовое число, m - магнитное квантовое число, l – орбитальное квантовое число. В процессе решения выяснилось, что решения удовлетворяющие естественным условиям, получаются при

l < n-1. Таким образом, при данном n число l может принимать значения:

l = 0, 1, 2, …, n-1

т.е. всего n значений. При данном l число m может принимать 2l+1 различных значений:

m = 0, ±1, ±2, …, ±l

 

Поскольку энергия En электрона зависит только от главного квантового числа n, то каждому собственному значению En соответствует несколько собственных функций Ψnlm , отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что электрон может иметь одно и тоже значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Например, энергией E2 (n = 2) обладают четыре состояния: Ψ200, Ψ21-1, Ψ210, Ψ21+1

 

Кратность вырождения: состояния с одинаковой энергией называют вырожденными, а число различных состояний с определенным значением энергии En — кратностью вырождения данного энергетического уровня. Число N различных состояний для данного n равно

N = l=0n-1(2l+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2

 

С учетом спина электрона кратность вырождения n-го энергетического уровня

N = 2n2

 

Символы состояний: различные состояния электрона в атоме принято обозначать малыми буквами латинского алфавита в зависимости от lIDV6wojE4LZw25zD25ASTK9mbx5lzTdlbWF9B9P4

Значения главного квантового числа n указывают перед символом состояния с данным l.

1s;    2s, 2p;        3s, 3p, 3d;

Собственные функции уравнения Шредингера представляют собой произведения двух функций

    Ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r) Ylm(θ, φ)

где первый множитель зависит от n и l, второй от l и m.

 

Рассмотрим плотность вероятности местонахождения электрона в состоянии 1s атома водорода, которое является сферически-симметричным, т.е. Ψ-функция зависит только от r:

Ψ1s ~ exp(-ɑr)

где ɑ = 1/r1;  r1 – боровский радиус.

Вероятность нахождения электрона в объеме dV = 4πr2dr, тогда dP нахождения электрона в 1s слое будет равна:

dP = Ar2Ψ2dr

где А – нормировочный коэффициент. Отсюда плотность вероятности, отнесенной к единице толщины вблизи радиуса r есть:

dP/dr = Ar2exp(-2ɑr) ~ r2exp(-2ɑr)

плотность вероятности стремится к нулю при r→0 и при r →∞. Плотность вероятности достигает максимума при

rm = 1/ɑ = r1

что соответствует радиусу первой боровской орбиты электрона в атоме водорода.

 

График плотности вероятности местонахождения электрона в сферическом слое единичной длины.

NsAjm_azBWH7itNgN8Q2cqHbFlf8IPNSbZd6QgYR

Распределение электронного облака в других состояниях при усреднении Ψ-функции по углу q. Видно, что максимумы соответствуют с состояниями l=n-1.


KDM13GW53p6oCItRiwv7YFOj6vhMMHJFjMhrQfOv


16.01.2014; 12:42
хиты: 0
рейтинг:0
Естественные науки
физика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь